数据结构与算法：栈及其应用

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栈的介绍

栈是一种特殊的线性表。栈与线性表的不同，体现在增和删的操作。具体而言，栈的数据结点必须后进先出。后进的意思是，栈的数据新增操作只能在末端进行，不允许在栈的中间某个结点后新增数据。先出的意思是，栈的数据删除操作也只能在末端进行，不允许在栈的中间某个结点后删除数据。

也就是说，栈的数据新增和删除操作只能在这个线性表的表尾进行，即在线性表的基础上加了限制。如下图所示：

栈的基本操作

如何通过栈这个后进先出的线性表，来实现增删查呢？初始时，栈内没有数据，即空栈。此时栈顶就是栈底。当存入数据时，最先放入的数据会进入栈底。接着加入的数据都会放入到栈顶的位置。如果要删除数据，也只能通过访问栈顶的数据并删除。对于栈的新增操作，通常也叫作 push 或压栈。对于栈的删除操作，通常也叫作 pop 或出栈。对于压栈和出栈，我们分别基于顺序栈和链栈进行讨论。

顺序栈

栈的顺序存储可以借助数组来实现。一般来说，会把数组的首元素存在栈底，最后一个元素放在栈顶。然后定义一个 top 指针来指示栈顶元素在数组中的位置。假设栈中只有一个数据元素，则 top = 0。一般以 top 是否为 -1 来判定是否为空栈。当定义了栈的最大容量为 StackSize 时，则栈顶 top 必须小于 StackSize。

当需要新增数据元素，即入栈操作时，就需要将新插入元素放在栈顶，并将栈顶指针增加 1。如下图所示：

删除数据元素，即出栈操作，只需要 top - 1 就可以了。

对于查找操作，栈没有额外的改变，跟线性表一样，它也需要遍历整个栈来完成基于某些条件的数值查找。

链式栈

关于链式栈，就是用链表的方式对栈的表示。通常，可以把栈顶放在单链表的头部，如下图所示。由于链栈的后进先出，原来的头指针就显得毫无作用了。因此，对于链栈来说，是不需要头指针的。相反，它需要增加指向栈顶的 top 指针，这是压栈和出栈操作的重要支持。

对于链栈，新增数据的压栈操作，与链表最后插入的新数据基本相同。需要额外处理的，就是栈的 top 指针。如下图所示，插入新的数据，则需要让新的结点指向原栈顶，即 top 指针指向的对象，再让 top 指针指向新的结点。

在链式栈中进行删除操作时，只能在栈顶进行操作。因此，将栈顶的 top 指针指向栈顶元素的 next 指针即可完成删除。对于链式栈来说，新增删除数据元素没有任何循环操作，其时间复杂度均为 O(1)。

对于查找操作，相对链表而言，链栈没有额外的改变，它也需要遍历整个栈来完成基于某些条件的数值查找。

通过分析你会发现，不管是顺序栈还是链栈，数据的新增、删除、查找与线性表的操作原理极为相似，时间复杂度完全一样，都依赖当前位置的指针来进行数据对象的操作。区别仅仅在于新增和删除的对象，只能是栈顶的数据结点。

栈在表达式求值中的应用

看栈的另一个常见的应用场景，编译器如何利用栈来实现表达式求值。

为了方便解释，我将算术表达式简化为只包含加减乘除四则运算，比如：34+13*9+44-12/3。对于这个四则运算，我们人脑可以很快求解出答案，但是对于计算机来说，理解这个表达式本身就是个挺难的事儿。如果换作你，让你来实现这样一个表达式求值的功能，你会怎么做呢？

实际上，编译器就是通过两个栈来实现的。其中一个保存操作数的栈，另一个是保存运算符的栈。从左向右遍历表达式，当遇到数字，我们就直接压入操作数栈；当遇到运算符，就与运算符栈的栈顶元素进行比较。如果比运算符栈顶元素的优先级高，就将当前运算符压入栈；

如果比运算符栈顶元素的优先级低或者相同，从运算符栈中取栈顶运算符，从操作数栈的栈顶取 2 个操作数，然后进行计算，再把计算完的结果压入操作数栈，继续比较。将 3+5*8-6 这个表达式的计算过程画成了一张图，你可以结合图来理解计算过程。

对计算器而言，哪怕是1+1=2 计算都最少需要6个指令集，而通过20>>1=10, 的位移运算，只需要一个指令集，计算效率不在一个级别上。

栈的应用案例

案例1

给定一个只包括 ‘(’，’)’，’{’，’}’，’[’，’]’ 的字符串，判断字符串是否有效。有效字符串需满足：左括号必须与相同类型的右括号匹配，左括号必须以正确的顺序匹配。例如，{ [ ( ) ( ) ] } 是合法的，而 { ( [ ) ] } 是非法的。

这个问题很显然是栈发挥价值的地方。原因是，在匹配括号是否合法时，左括号是从左到右依次出现，而右括号则需要按照“后进先出”的顺序依次与左括号匹配。因此，实现方案就是通过栈的进出来完成。

具体为，从左到右顺序遍历字符串。当出现左括号时，压栈。当出现右括号时，出栈。并且判断当前右括号，和被出栈的左括号是否是互相匹配的一对。如果不是，则字符串非法。当遍历完成之后，如果栈为空。则合法。如下图所示：

代码如下：

public static void main(String[] args) {
    String s = "{[()()]}";
    System.out.println(isLegal(s));
}

private static int isLeft(char c) {
    if (c == '{' || c == '(' || c == '[') {
        return 1;
    } else {
        return 2;
    }
}

private static int isPair(char p, char curr) {
    if ((p == '{' && curr == '}') || (p == '[' && curr == ']') || (p == '(' && curr == ')')) {
        return 1;

    } else {
        return 0;
    }
}

private static String isLegal(String s) {
    Stack stack = new Stack();
    for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
        char curr = s.charAt(i);
        if (isLeft(curr) == 1) {
            stack.push(curr);
        } else {
            if (stack.empty()) {
                return "非法";
            }
            char p = (char) stack.pop();
            if (isPair(p, curr) == 0) {
                return "非法";
            }
        }
    }
    if (stack.empty()) {
        return "合法";
    } else {
        return "非法";
    }
}

案例2

浏览器的页面访问都包含了后退和前进功能，利用栈如何实现？我们利用浏览器上网时，都会高频使用后退和前进的功能。比如，你按照顺序先后访问了 5 个页面，分别标记为 1、2、3、4、5。现在你不确定网页 5 是不是你要看的网页，需要回退到网页 3，则需要使用到两次后退的功能。假设回退后，你发现网页 4 有你需要的信息，那么就还需要再执行一次前进的操作。

为了支持前进、后退的功能，利用栈来记录用户历史访问网页的顺序信息是一个不错的选择。此时需要维护两个栈，分别用来支持后退和前进。当用户访问了一个新的页面，则对后退栈进行压栈操作。当用户后退了一个页面，则后退栈进行出栈，同时前进栈执行压栈。当用户前进了一个页面，则前进栈出栈，同时后退栈压栈。我们以用户按照 1、2、3、4、5、4、3、4 的浏览顺序为例，两个栈的数据存储过程，如下图所示：

总结

栈继承了线性表的优点与不足，是个限制版的线性表。限制的功能是，只允许数据从栈顶进出，这也就是栈后进先出的性质。不管是顺序栈还是链式栈，它们对于数据的新增操作和删除操作的时间复杂度都是 O(1）。而在查找操作中，栈和线性表一样只能通过全局遍历的方式进行，也就是需要 O(n) 的时间复杂度。

栈具有后进先出的特性，当你面对的问题需要高频使用新增、删除操作，且新增和删除操作的数据执行顺序具备后来居上的相反关系时，栈就是个不错的选择。例如，浏览器的前进和后退，括号匹配等问题。栈在代码的编写中有着很广泛的应用，例如，大多数程序运行环境都有的子程序的调用，函数的递归调用等。这些问题都具有后进先出的特性。