慕课matlab学习 第二章-010

矩阵的特征值与特征向量

% 第二节 矩阵变换
% 矩阵的特征值与特征向量

%   矩阵特征值的数学定义
%   设A是n阶方阵，如果存在常数λ和n维非零列向量x，使得
%   等式Ax= λx成立，则称λ为A的特征值，x是对应特征值λ的特
%   征向量。

% 函数调用格式有两种:
% E=eig(A) :求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
% [X,D]=eig(A) :求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D,并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量。
% eg
A=[1,1,0;1,0,5;1,10,2]
eig(A) %求得 A的特征向量
[X,D]=eig(A) %求得A的全部特征值，构成对角阵D,并产生矩阵X，X各列是【相应的特征向量】
% 分析验证
A*X(:,1)  %特征向量
D(1)*X(:,1) %特征向量验证


%验证
%设λi为R的特征值，λj为S的特征值，xi= ( A1, a2, a3) '
%是R对应于hi的特征向量，yj= (β1,β1) '是S对应于λj的特征向
%试验证:
%(1) hi、 入j为A的特征值。
%(2) pi;=( A1, C2. 0l3, 0,0) '是A对应于λ i的特征向量，
%    qj= (0,0,0,B1, B2) '是A对应于λj的特征向量。

R=[-1,2,0;2,-4,1;1,1,-6] %创建3*3的子矩阵 R
S=[1,2;2,3]              %创建2*2的子矩阵 S
A=[R,zeros(3,2);zeros(2,3),S] %创建了两个0矩阵，随后将矩阵进行拼接得到A矩阵
[X1,d1]=eig(R)  %求得R的全部特征值,构成对角阵d1,并产生矩阵x1
[X2,d2]=eig(S)  %求得S的全部特征值,构成对角阵d2,并产生矩阵x2
[X3,d3]=eig(A)  %求得A的全部特征值,构成对角阵d1,并产生矩阵x3
%  上述结果输出可以看到 R 和 S 的特征值 和 A 的特征值是相等的
%  并且，每个特征值的特征向量是由 R 和 S 矩阵一一对应的。

% 特征值的几何意义
% https://www.bilibili.com/video/BV1b441147N8?p=12
% 时间节点 6:08 分
% 个人理解
% 对于矩阵A=[3.8,0.6;0.6,2,2]
% 得到两个的两个特征值x1=[3,1] x2=[-1,3]和 特征向量 入1 入2
% y1=A*x1=入1*x1  y2=A*x2=入2*x2
% 个人理解：（又可能不对）这样可以理解为 建立x1 和 x2向量，将通过矩阵A 进行运算得到单位向量 x1 和 x2
% 相当于原来的直角坐标变成了现在以 x1 和 x2 的坐标，可以进行坐标的转换。
% 同时多位也可以这样理解将标准的坐标系变成自己定义的坐标用 入 表示


%
% eg 2

x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8] %定义M字符的坐标（直角坐标系下的 x 和 y 的值）
A=[1,0.5;0,1] %定义变换矩阵A
y=A*x          %进行变换
subplot(2,2,1) %创建图 2.2.1
fill(x(1,:),x(2,:),'r') %进行填充 对x第一行和第二行之间的数进行填充
subplot(2,2,2)
fill(y(1,:),y(2,:),'r') %进行填充 对变换得到的 y第一行和第二行之间的数进行填充