CodeForces 710D Two Arithmetic Progressions

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有\(2\)个等差数列\(a:a_i=a_1i+b_1(i\in\mathbb n),b:b_i=a_2i+b_2(i\in\mathbb n)\)。给定\(l,r\)，求有多少个整数\(n\in[l,r]\)满足\(n\)既在\(a\)内又在\(b\)内。

\(a_1,a_2\in\left(0,2\times10^9\right]\cap\mathbb z,b_1,b_2,l,r\in\left[-2\times10^9,2\times10^9\right]\cap\mathbb z,l\leq r\)。

设\(n\)在\(a\)中是第\(x\in\mathbb n\)项，在\(b\)中是第\(y\in\mathbb n\)项，则可以列出不定方程
\[a_1x+b_1=a_2y+b_2\]
转化成标准形式，得
\[a_1x-a_2y=b_2-b_1\]
这个显然可以用exgcd先确定无解并输出\(0\)走人，或确定有解并得到一组特解\(\begin{cases}x=x'\\y=y'\end{cases}\)。令\(\delta x=\dfrac{a_2}{\gcd(a_1,a_2)},\delta y=\dfrac{a_1}{\gcd(a_1,a_2)}\)，则通解是\(\begin{cases}x=x'+k\delta x\\y=y'+k\delta y\end{cases}(k\in\mathbb z)\)。但对于\(x,y\)还有一个特殊的条件，就是\(x,y\in\mathbb n\)。不难发现\(x,y\)同增同减，不妨找到使得\(x,y\)都最小的一组解\(\begin{cases}x=x''\\y=y''\end{cases}\)。\(x,y\)都最小，当且仅当\(x-\delta x<0\)或\(y-\delta y<0\)，于是分别令\(x''=x'\bmod \delta x,y''=y'\bmod \delta y\)，每次带入原方程解出另一个变量看是否\(\geq0\)，必有一次合法。

现在知道了\(x'',y''\)，通解就变成了\(\begin{cases}x=x''+k\delta x\\y=y''+k\delta y\end{cases}(k\in \mathbb n)\)。将\(x=x''+k\delta x\)带入\(a_1x+b_1\in[l,r]\)得
\[a_1(x''+k\delta x)+b_1\in[l,r]\]
即
\[a_1x''+a_1k\delta x+b_1\in[l,r]\]
即
\[a_1k\delta x\in[l-a_1x''-b_1,r-a_1x''-b_1]\]
即
\[k\in\left[\dfrac{l-a_1x''-b_1}{a_1\delta x},\dfrac{r-a_1x''-b_1}{a_1\delta x}\right]\]
又因为\(k\in\mathbb n\)，所以
\[k\in\left[\max\left(0,\left\lceil\dfrac{l-a_1x''-b_1}{a_1\delta x}\right\rceil\right),\left\lfloor\dfrac{r-a_1x''-b_1}{a_1\delta x}\right\rfloor\right]\]
然后算出\(k_{\min},k_{\max}\)，\(\max(0,k_{\max}-k_{\min}+1)\)就是答案。

最后吐槽一下，c++中的/号是向零取整，也就是\(<0\)时上取整、\(\geq0\)时下取整，\(k\)的解集中如果直接用/号算会wa，然后心态爆炸。所以必须要将被除数和除数统一取绝对值，然后利用\(\left\lfloor\dfrac ab\right\rfloor+\left\lceil\dfrac {-a}b\right\rceil=0\)这个原理计算，最后该取相反数取相反数：

int div_floor(int x,int y){return (x<0)^(y<0)?-(abs(x)+abs(y)-1)/abs(y):x/y;}
int div_ceil(int x,int y){return (x<0)^(y<0)?-abs(x)/abs(y):(x+y-1)/y;}

下面贴ac代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int div_floor(int x,int y){return (x<0)^(y<0)?-(abs(x)+abs(y)-1)/abs(y):x/y;}//下取整 
int div_ceil(int x,int y){return (x<0)^(y<0)?-abs(x)/abs(y):(x+y-1)/y;}//上取整 
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){//exgcd 
    if(!b)return x=1,y=0,a;
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    return y-=a/b*x,d;
}
int a1,a2,b1,b2,l,r;//题目给的参数 
signed main(){
    cin>>a1>>b1>>a2>>b2>>l>>r;
    int x,y,gcd=exgcd(a1,-a2,x,y);
    if((b2-b1)%gcd)return puts("0"),0;//无解 
    x*=(b2-b1)/gcd;y*=(b2-b1)/gcd;//找到特解 
    int dx=abs(a2/gcd),dy=abs(a1/gcd); 
    ((x%=dx)+=dx)%=dx;y=(a1*x-(b2-b1))/a2;
    if(y<0)((y%=dy)+=dy)%=dy,x=(a2*y+(b2-b1))/a1;//找到使x,y都最小的解 
    int l0=max(0ll,div_ceil(l-a1*x-b1,a1*dx)),r0=div_floor(r-a1*x-b1,a1*dx);//k[min],k[max] 
    cout<<max(0ll,r0-l0+1);//答案 
    return 0;
}