四元数与欧拉角

一、前言

欧拉角与四元数都被用来处理图像学中的旋转。两者各有优劣，下面我们对它们做详细的比较。

二、欧拉角

欧拉角是表示朝向的最简单最直观方法，只需存储绕 X、Y、Z 轴旋转的角度，非常容易理解。你可以用vec3来存储一个欧拉角：

vec3 EulerAngles( RotationAroundXInRadians, RotationAroundYInRadians, RotationAroundZInRadians);

这三个旋转是依次施加的，通常的顺序是：Y-Z-X（但并非一定要按照这种顺序）。顺序不同，产生的结果也不同。
不过，面对更加复杂的情况时，欧拉角就显得力不从心了。例如：

• 对两个朝向进行插值比较困难。简单地对X、Y、Z角度进行插值得到的结果不太理想。
• 实施多次旋转很复杂且不精确：必须计算出最终的旋转矩阵，然后据此推测出欧拉角。
• “臭名昭著”的“万向节死锁”(Gimbal Lock)问题有时会让旋转“卡死”。其他一些奇异状态还会导致模型方向翻转。（参考视频：https://www.bilibili.com/video/av35803395/）
  
• 不同的角度可产生同样的旋转（例如-180°和180°）
• 容易出错——如上所述，一般的旋转顺序是YZX，如果用了非YZX顺序的库，就有麻烦了。
• 某些操作很复杂：如绕指定的轴旋转N角度。

三、四元数

四元数由4个数 [x y z w] 构成（这里我们不考虑数学上的定义，只考虑图像学方面的应用），RotationAxis 为旋转轴，RotationAngle 为旋转的角度。下图的旋转用四元数可表示为：

// RotationAngle is in radians
x = RotationAxis.x * sin(RotationAngle / 2)
y = RotationAxis.y * sin(RotationAngle / 2)
z = RotationAxis.z * sin(RotationAngle / 2)
w = cos(RotationAngle / 2)

1、四元数各值的意义

四元数的形式不如欧拉角直观，$xyz$xyz 分量大致代表了各个轴上的旋转分量，而$w=\cos(RotationAngle/2)$w=cos(RotationAngle/2)。举个例子，假设你在调试器中看到了这样的值$[ 0.7\ 0\ 0\ 0.7 ]$[0.7 0 0 0.7]。$x=0.7$x=0.7，比 $y$y、$z$z 的大，因此主要是在绕 X 轴旋转；而 $2\arccos(0.7) = 1.59$2arccos(0.7)=1.59 弧度，所以旋转角度应该是 $90°$90°。
同理，$[0\ 0\ 0\ 1] (w=1)$[0 0 0 1](w=1) 表示 $RotationAngle = 2\arccos(1) = 0$RotationAngle=2arccos(1)=0，当旋转角度为 $0$0 时因此这是一个单位四元数（unit quaternion），表示没有旋转。

2、四元数转换为旋转矩阵

3、参考源码

// Ogre 中的实现
mat4 ToRotationMatrix(quat& q)
{
    mat4 matR;

    float x = q.x;
    float y = q.y;
    float z = q.z;
    float w = q.w;

    float fTx = x + x;
    float fTy = y + y;
    float fTz = z + z;
    float fTwx = fTx * w;
    float fTwy = fTy * w;
    float fTwz = fTz * w;
    float fTxx = fTx * x;
    float fTxy = fTy * x;
    float fTxz = fTz * x;
    float fTyy = fTy * y;
    float fTyz = fTz * y;
    float fTzz = fTz * z;

    matR[0][0] = 1.0f - (fTyy + fTzz);
    matR[0][1] = fTxy - fTwz;
    matR[0][2] = fTxz + fTwy;
    matR[0][3] = 0.0f;

    matR[1][0] = fTxy + fTwz;
    matR[1][1] = 1.0f - (fTxx + fTzz);
    matR[1][2] = fTyz - fTwx;
    matR[1][3] = 0.0f;

    matR[2][0] = fTxz - fTwy;
    matR[2][1] = fTyz + fTwx;
    matR[2][2] = 1.0f - (fTxx + fTyy);
    matR[2][3] = 0.0f;

    matR[3][0] = 0.0f;
    matR[3][1] = 0.0f;
    matR[3][2] = 0.0f;
    matR[3][3] = 1.0f;

    return matR;
}

参考资料
[1] OpenGL 教程 旋转 ： https://github.com/cybercser/OpenGL_3_3_Tutorial_Translation/blob/master/Tutorial%2017%20Rotations.md
[2] Ogre Quaternion ：https://bitbucket.org/sinbad/ogre/src/3cbd67467fab3fef44d1b32bc42ccf4fb1ccfdd0/OgreMain/src/OgreQuaternion.cpp?at=default

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