计算机算法设计与分析——算法引论

1.1 算法与程序

计算机算法
通俗定义：用计算机求解问题的方法或过程。
正式定义：算法是满足下述性质的 指令序列：

• 输入：有零个或多个外部量作为算法的输入
• 输出：至少产生一个量作为输出
• 确定性：组成算法的每条指令是清晰的、无歧义的
• 有限性：算法中每条指令的执行次数有限，执行每条指令的时间也有限

1.2 算法的抽象与描述

算法的的抽象
- 选用该问题的一个数据模型
- 明确初始状态和已知状态
- 描述数据模型级运算步骤：暂不关心变量的数据结构，运算不含细节。可用伪码描述。
- 算法实现：依赖具体数据结构、具体语言。

算法的描述

• 可以使用C、C++、JAVA等高级计算机语言描述，好处是可以利用语言的抽象数据类型，易于检验逻辑错误。
• 伪码描述：描述算法最重要的是表达清楚算法的基本思想和关键过程，高级语言涉及实现细节，对算法描述并非都是必要的。

ALGEN语言

• 变量：提供int,real,bool,char等简单变量。赋值：v:=expr
• A[1..n]表示长为n的一维数组；A[1..m,1..n]表示二维数组。
• for、While和Loop循环
• break、continue、exit、go to
• If和case条件语句
• 子程序：proc name(formal parameters)
• 允许使用自然语言和数学表达式

1.3 空间复杂性

考虑空间复杂性的理由

• 在多用户 系统中运行时，需指明分配给该程序的内存大小;
• 想预先知道计算机系统是否有足够的内存来运行该程序；
• 用空间复杂性来估计一个程序可能解决的问题的最大规模；
• 一个问题可能有若干个不同的内存需求解决方案，从中 择优；

程序需要的空间

• ①指令空间、②数据空间、③环境栈空间。
• 程序空间与算法、编译和目标机相关，空间复杂性分析主要关注算法相关的空间要求。

例子：

template<class T>                      template<class T>   
  T Sum( T,a[ ], int n )                  T Rsum( T a[ ], int n)
  {//计算 a[0:n-1]的和                  {//计算a[0:n-1]的和
     T tsum=0;                                    if (n>0)
      for(int i=0, i<n; i++)                     return Rsum(a,n-1)+a[n-1];
          tsum+=a[i];                             return 0;
      return tsum;                              }
    }
  //存数组的地址a,                        //保留a的地址，函数返回地址，
  //变量n, i, tsum:                      //存储变量n , 递归深度为 n+1
  //Ssum=2+4+4+sizeof(T)            //Srsum=(2+2+4)(n+1) +sizeof(T)
  //2为a[]指针，4为n和i，tsum T     //2,2是a[]和返回的[],4为n，（n+1）递归

1.4 时间复杂性

考虑时间复杂性的理由

• 某些计算机用户需要提供程序运行时间的上限
• 把握问题求解的难易程度，清晰划分问题的可求解范围
• 评价算法的优劣，改进算法。

时间复杂度的度量：关键操作计数、总的执行步统计

• 用基本运算次数(约定每种基本操作所用时间都是一个单位)衡量算法的效率。(不能用机器的真正运行时间作为度量标准)。
• 算法的运算次数与实例规模有关，复杂度函数：T(n)
• 对规模为n的两个不同实例，如何选择T(n)?
• 最坏情况下的时间复杂度W(n)
• 平均情况下的时间复杂度A(n)

例1：寻找数组中最大元素，关键操作n-1次

template<class T>                      
int Max(T a[], int n)                    
{//寻找a[0:n-1]中的最大元素            
    int pos=0;                        
    for (int i=1; i<n; i++)                
       if (a[pos]<a[i])
          pos=i;
    return pos;
}
这里的关键操作是比较。for循环*进行了n-1次比较

例2：n次多项式求值程序：基本操作3n次
template<class T>
  T PolyEval(T coeff[], int n, const T &x)
  {//计算n次多项式的值，coeff[0:n]为多项式的系数
     T  y=1, value=coeff[0];
     for (int i=1; i<=n; i++)    //n循环
    {                                     //累加下一项
        y*=x;                          //一次乘法
        value+=y*coeff[i];      //一次加法和一次乘法
     }
     return value;
}                          //3n次基本运算

这里的关键操作是数的加法与乘法。

例3：顺序查找

template < class T >
int SeqSearch (T a[ ], const T &x, int n)
{ //在a[0:n-1]中搜索x,若找到则返回所在的位置，
    否则返回-1
   int i;
   for (i=0; i<n && a[i]!= x; i++);
   if (i==n) return -1;
   return i;
}
最好情况：比较 1 次；
最坏情况：比较 n 次；

平均比较次数：

统计执行步数：按程序步、执行语句统计