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阶乘的运算法则的运行(前n项阶乘的和公式)

程序员文章站 2023-11-24 15:52:10
先从熟稔的数学着手起步。1.线型迭代与递归 linear recursion and iteration我们从“阶乘”开始。n! = n *(n-1)*(n-2)....3*2*1计算“阶乘”的方法有...

先从熟稔的数学着手起步。

1.线型迭代与递归 linear recursion and iteration

我们从“阶乘”开始。

n! = n *(n-1)*(n-2)....3*2*1

计算“阶乘”的方法有很多,最直觉的一种解法(从n逐次递减)

n!=n⋅[(n−1)⋅(n−2)⋯3⋅2⋅1]=n⋅(n−1)!

直接用function表达为:

> function factorial(n) {
... return n === 1
...        ? 1
...        : n * factorial(n-1);
... }
undefined
> factorial(6)
720

绘制函数执行的shape:

阶乘的运算法则的运行(前n项阶乘的和公式)

a linear recursive process for computing 6!.

接下来,我们从另外一个视角审视。从1开始,逐次乘到n:

product <-- counter * product
counter <-- counter + 1

当counter超过n时,输出product结果。

function factorial(n) {
    return fact_iter(1, 1, n);
}
function fact_iter(product, counter, max_count) {
    return counter > max_count
           ? product
           : fact_iter(counter * product,
                       counter + 1,
                       max_count);
}

factorial(5);
# 最终的结果放在前面

同样可视化其执行过程如下:

阶乘的运算法则的运行(前n项阶乘的和公式)

a linear iterative process for computing 6!.

分析第一种递归结构,执行结构先expansion再constraction。expansion过程建立在层层的deferre-operatioin之上;而constraction过程发生于运算的实际执行中,此种类型的 deferred operations称之为递归a recursive process。

于此相反,第二个函数没有grow和shrink的过程。在每一步中,都对n追踪记录,即product, counter, and max-count。该过程称之为 a linear iterative process.

二者的区别在于,interactive-case,所有的state信息都保存在每一个过程中;而在recursive-case中,编译器维护着hidden-information。

在tail-recursion机制之下,iterative-recursion将会执行为iteration-process。

2.树状递归

第二种“演变模式”是“树状递归”,以fibonacci数列为例:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,…

fibonacci数列有如下定义:

阶乘的运算法则的运行(前n项阶乘的和公式)

fibonacci数列

简单粗暴的将定义实现出来:

function fib(n) {
    return n === 0
           ? 0
           : n === 1
             ? 1
             : fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

fib(6);

此函数在时间线里演变呈现“树状结构”:

阶乘的运算法则的运行(前n项阶乘的和公式)

the tree-recursive process generated in computing (fib 5) fib(5)

然而该解决方案的运行效率极低,从图中可知,fib(1), fib(2), fib(3)重复计算。

颇为值得一提的是,fib(n)的值无限趋近于ϕn/√5。其中 ϕ为“黄金比例”:

ϕ2=ϕ+1

至此,已知函数的“发展演变模式”为树状结构。下一步,如何判断此函数动作是一部“臭棋”还是一步“好棋”呢?答案是从“时间复杂度”和“空间复杂度”两方面着手分析。

于是,我们看到 fib(n)函数在“时间复杂度”上,指数级增长;而另外一方面,”空间复杂度”则“线性增长”。一言以蔽之,树状递归执行的总步数,取决于总的节点数量;而所需的空间则与生成树的最大深度成正比。

作为对比,尝试用iterative的方法计算fibonacci。须用到一对数a和b,并初始化fib(1)=1 and fib(0)=0,反复应用以下转换:

a <--- a + b
b <--- a

a与b的数值最终将分别对应fib(n+1) and fib(n)。

function fib(n) {
    return fib_iter(1, 0, n);
}
function fib_iter(a, b, count) {
    return count === 0
           ? b
           : fib_iter(a + b, a, count - 1);
}

更加符合直觉的表达方式是:

function fib(n) {
    return fib_iter(1, 0, n);
}
function fib_iter(next, current, count) {
    return count === 0
           ? current
           : fib_iter(next + current, next, count - 1);
}

这第二种解法就是“线型迭代”。

对比以上两种解法。tree-recursion的解法更加符合直觉,有助于在初步阶段,梳理清楚脉络;而第二种linear-recursion的解法则需要较多的观察,注意到计算过程需要三个状态变量。