Gym100025K

矩阵快速幂

设答案为f(i)

举个例子：

当i==2时，包含0的值有：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100；0的个数为11，f(2)=11;

i==3时;可以从i==2的情况递推，

第一步：i==2时的数据范围：1-100；在这100个数后面补0；补0后，这些数在1-1000的范围之内，合法，0的个数增加了100个，也就是10^(i-1)；

第二步：把i==2时包含0的有效值拿出来，在这些值后面补0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；

比如70；补数之后就成了:700,701,702,703,704,705,706,707,708,709;这样70里面0的个数就被计算了10次。至于700里面由于后面补零增加的一个0，这个可以发现已经在第一步中计算过了。因此加上10*f(i-1);

但要知道100后面补数的话，1001，1003，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009都是不合法的。不合法的情况有9种，每种里面包含0的个数为(i-1)。

因此递推式为f(i)=10*f(i-1)+10^(i-1)-9*(i-1);

接下来就可以愉快的矩阵快速幂了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[10];
#define ll long long
ll mod;
ll res[4][4];
ll ans[4];
void ans()
{
    ll tmp[4]={0};
    for(int i=0;i<4;++i)
    {
        for(int j=0;j<4;++j)
        {
            tmp[i]=(tmp[i]+res[i][j]*ans[j])%mod;;
        }
    }
    for(int i=0;i<4;++i)ans[i]=tmp[i];
}
void a()
{
    ll tmp[4][4]={0};
    for(int i=0;i<4;++i)
    {
        for(int j=0;j<4;++j)
        {
            for(int k=0;k<4;++k)tmp[i][j]=(tmp[i][j]+res[i][k]*res[k][j])%mod;
        }
    }
    for(int i=0;i<4;++i)for(int j=0;j<4;++j)res[i][j]=tmp[i][j];
}
void init(ll n)
{
    --n;
    res[0][0]=10%mod;res[0][1]=10%mod;res[0][2]=(-9%mod+mod)%mod;
    res[1][1]=10%mod;
    res[2][2]=res[2][3]=1;
    res[3][3]=1;
    for(int i=0;i<4;++i)ans[i]=1;
    while(n){
        if(n&1)ans();
        n>>=1;a();
    }
    cout<<ans[0]<<endl;
}
int main()
{
    /*
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=6;++i){
        f[i]=10*f[i-1]+pow(10,i-1)-9*(i-1);
        cout<<f[i]<<endl;
    }
    */
    freopen("zeroes.in","r",stdin);
    freopen("zeroes.out","w",stdout);
    ll k;
    cin>>k>>mod;
    if(mod==1)cout<<0<<endl;
    else init(k);
}