LeetCode有序矩阵中第K小的元素(Python语言)

378. 有序矩阵中第K小的元素

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题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/kth-smallest-element-in-a-sorted-matrix

题目

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给定一个 n x n 矩阵，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是排序后的第 k 小元素，而不是第 k 个不同的元素。

示例：

matrix = [
   [ 1,  5,  9],
   [10, 11, 13],
   [12, 13, 15]
],
k = 8,

返回 13。

提示：

• 你可以假设 k 的值永远是有效的，1 ≤ k ≤ n2 。

解题思路

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先审题，题目中给出的是二维数组，而问题需要求得的是二维数组中第 k 小的元素。在这里，最直接的方法就是将二维数组转换为一维数组，对于转换后的一维数组进行升序排序，那么此时的一维数组中的第 k 个元素就是所求的结果。代码大致如下：

# python
def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:
    res = []
    for row in matrix:
        for ele in row:
            res.append(ele)
    res.sort()
    return res[k-1]

在这里，代码并没有使用矩阵的特性。而是转换为一维数组进行求解。这个解法的时间复杂度为 O(n^2logn)，即是对 n x n 个数进行排序。

因为上面的解法是将矩阵转换为一维数组，并不是在矩阵的基础上解决问题。下面使用二分查找，来尝试以在矩阵的前提下，对问题进行分析解答。

思路：二分查找

考虑使用二分查找的原因，因为题目中说明，矩阵中，每行每列元素都是升序排序的。

也就是说在题目给定的矩阵当中，元素由左上到右下是递增的，以示例为基础扩充展开分析：

示例：

matrix = [
   [ 1,  5,  9],
   [10, 11, 13],
   [12, 13, 15]
],
k = 8

将上面的示例稍微扩充如下（仅为更方便展示二分查找方法的效果）：

matrix = [
   [ 1,  5,  9, 10, 11],
   [10, 11, 13, 14, 15],
   [12, 13, 15, 16, 17],
   [13, 14, 16, 17, 18],
   [14, 18, 22, 26, 30]
],
k = 8

将上面二维数组转换为下图：

我们假设左上角的元素为 matrix[0][0]，右下角的元素为 matrix[n-1][n-1]，根据题意以及上面的示图可知。matrix[0][0] 是二维数组中的最小值，matrix[n-1][n-1] 是最大值。

我们现在使用二分查找的方法来分析，设 matrix[0][0] 和 matrix[n-1][n-1] 分别为 left 和 right。

现在我们尝试取 mid（left <= mid <= right），可以发现在矩阵当中小于等于 mid 值的元素会分布在矩阵的左上部分，而大于 mid 值的元素则分布在矩阵的右下部分。例如下图所示，此时取 mid 为 15：

在这里大于 mid 和小于等于 mid 的元素分为两部分，沿着红色的分割线将两者分开。此时，我们就可以看到，大于 mid 和小于等于 mid 两者元素的个数分别有多少。

上面红色分割线划分的依据，在这里进行分析：

因为每行每列的元素都是升序排列的，我们前面的分析，元素需要与 mid 进行比较。例如，我们现在要求分布在左边部分的元素，也就是元素值小于等于 mid 的部分。

此时我们可以考虑从左下角开始出发，往右上角去找。这样能够快速收缩范围。具体的流程如下：

• 以左下角为起始点，往右上角开始扩散
• 如果当前位置的元素值小于等于 mid 值时，说明从当前位置开始往上的所有元素都小于等于 mid（因为每列升序排列），记录当前元素个数 count，注意维护更新。
• 此时满足元素值小于等于 mid 值时，向右边移动再次比较。否则，就向上移动，寻找稍小的元素进行比较，直至移动到边界。

在这里，当取 mid 值后进行划分时，按照上面的方法，能够确定小于或等于 k 的个数，那么就会出现以下两种情况：

• 当 count 大于或等于 k 时，那么可以确定要找的答案在 [left, mid] 这边；
• 否则，答案在 [mid+1, right] 这个区间。

那么根据这个思路，循环直至找到答案。

关于二分查找方法执行流程，可看如下简略图示（若不太理解，可手画图帮忙理解）：

具体的代码实现如下。

代码实现

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class Solution:
    def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:
        def search(mid, n):
            # 从左下角开始往右上角找
            i, j = n-1, 0
            # 统计小于或等于 mid 的元素个数
            count = 0
            while i >= 0 and j < n:
                if matrix[i][j] <= mid:
                    # 当此时元素小于等于 mid
                    # 那么该元素往上的所有元素都会小于或等于 mid
                    count += (i + 1)
                    # 向右移动，继续比较
                    j += 1
                else:
                    # 当此时元素大于 mid 时，说明这个元素不包含在内，往上移动
                    i -= 1
            # count 与 k 值比对，判断所求元素落在哪边
            return count >= k
        
        n = len(matrix)

        left, right = matrix[0][0], matrix[n-1][n-1]

        while left < right:
            mid = left + (right - left) // 2
            if search(mid, n):
                # 当 count 大于等于 k 时，表明答案落在 [left, mid]
                # 否则落在 [mid+1, right]
                right = mid
            else:
                left = mid + 1
        
        return left

实现结果

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