矩阵乘法（七）：其它一些典型应用

      前面几篇随笔中介绍了利用矩阵乘法（特别是应用快速幂运算）解决递推快速求值、置换和几何变换等问题的方法。实际上矩阵乘法的应用远不止这些，下面通过几个实例来介绍下矩阵乘法的其它一些典型的应用。

【例1】多少条道。

      给定一个有向图，问从a点恰好走k步（允许重复经过边）到达b点的方案数mod p的值。

      （1）编程思路。

      本题是矩阵乘法应用在图论中的一个典型方法。
      给定了有向图，可以得到该图的邻接矩阵a，在邻接矩阵a中，a(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。若i->j不存在直接相连接的边，则a(i,j)=0。

      令c=a*a，那么 c(i,j)= σa(i,k)*a(k,j)，实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（k为中转点）。

      类似地，c*a =a*a*a的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理，如果要求经过k步的路径数，只需要采用快速幂运算求出a^k即可。

 

      （2）源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define mod 1000
struct matrix
{
      int mat[21][21]; // 存储矩阵中各元素
};
matrix matmul(matrix a ,matrix b,int n,int m)
{
      matrix c;
      memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
      int i,j,k;
      for (k = 1; k<=n ; k++)
          for (i=1 ;i<=n ; i++)
               if (a.mat[i][k]!=0)
                    for (j = 1 ;j<=n ;j++)
                        c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % m;
      return c;
}
matrix quickmatpow(matrix a ,int n,int b,int m) // n阶矩阵a快速b次幂
{
      matrix c;
      memset(c.mat ,0 ,sizeof(c.mat));
      int i;
      for (i = 1 ;i <= n ;i++)
           c.mat[i][i] = 1;
      while (b!=0)
      {
            if (b & 1)
                c = matmul(c ,a ,n,m); // c=c*a;
            a = matmul(a ,a ,n,m); // a=a*a
            b /= 2;
      }
      return c;
}
int main()
{
      int n,m,s,t,ncase,a,b,k,i;
      matrix p,ans;
      while (scanf("%d%d",&n,&m) && n+m!=0)
      {
            memset(p.mat,0,sizeof(p.mat));
            for (i=1;i<=m;i++)
            {
                 scanf("%d%d",&s,&t);
                 p.mat[s+1][t+1]=1;
            }
            scanf("%d",&ncase);
            for (i=1;i<=ncase;i++)
            {
                  scanf("%d%d%d",&a,&b,&k);
                  ans=quickmatpow(p,n,k,mod);
                  printf("%d\n" ,ans.mat[a+1][b+1]);
             }
      }
      return 0;
}

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       我们知道，构造好平移、缩放或旋转的转换矩阵后，可以实现几何变换；构造好置换矩阵后，可以实现置换操作。这样，在一些问题中，我们也可以根据状态变化的情况，构造一个状态转移矩阵，来解决一些状态变换类问题。

【例2】灯的状态。

     有n盏灯排成一排，开关状态已知，0代表灯熄灭，1代表点亮。每过一秒：第i（1<=i<=n）盏灯会根据刚才左边的那个灯的开关情况变化，如果左边的灯是亮的，它就会变化，如果左边的灯是熄灭的，它就保持原来状态。第1盏灯的左边是最后一盏灯。问m秒后全部n盏灯的状态。

      （1）编程思路。
      构造好状态转移矩阵p，p^m的结果就是m秒后的状态转移矩阵。再将状态转移矩阵除以n盏灯初始状态列向量s即可得到n盏灯的最终状态。

      （2）源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define mod 2
struct matrix
{
      int mat[101][101]; // 存储矩阵中各元素
};
matrix matmul(matrix a ,matrix b,int n)
{
     matrix c;
     memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
     int i,j,k;
     for (k = 1; k<=n ; k++)
         for (i=1 ;i<=n ; i++)
             if (a.mat[i][k]!=0)
                 for (j = 1 ;j<=n ;j++)
                     c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod;
     return c;
}
matrix quickmatpow(matrix a ,int n,int b) // n阶矩阵a快速b次幂
{
      matrix c;
      memset(c.mat ,0 ,sizeof(c.mat));
      int i;
      for (i = 1 ;i <= n ;i++)
           c.mat[i][i] = 1;
      while (b!=0)
     {
           if (b & 1)
              c = matmul(c ,a ,n); // c=c*a;
           a = matmul(a ,a ,n); // a=a*a
           b /= 2;
      }
      return c;
}
int main()
{
      int m,n,i,j,s;
      char f[101];
      int temp[101],ans[101];
      matrix p;
      while(scanf("%d" ,&m)!=eof)
       {
            scanf("%s",f);
            n=strlen(f);
            for (i=1;i<=n;i++)
                temp[i]=f[i-1]-'0';
            memset(p.mat,0,sizeof(p.mat));
            p.mat[1][1]=p.mat[1][n]=1;
            for (i=2;i<=n;i++)
                   p.mat[i][i-1]=p.mat[i][i]=1;
            p = quickmatpow(p,n,m);
            for (i=1;i<=n;i++)
             {
                   s=0;
                   for (j=1;j<=n;j++)
                        s+=p.mat[i][j]*temp[j];
                   ans[i]=s%mod;
            }
            for (i=1;i<=n;i++)
                 printf("%d" ,ans[i]);
            printf("\n");
      }
      return 0;
}

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