二分法（二）：采用二分法解决“最小化最大值问题”

      二分法除了可以进行有序查找、解方程等外，还可以用来解决一些实际问题。这些问题中，非常典型的应用就是“最小化最大值问题”和“最大化最小值问题”

      “最小化最大值问题”和“最大化最小值问题”在优化问题中比较常见，简单来说，“最小化最大值”是为了压制优化目标中表现最突出的成分，“最大化最小值”为了提升优化目标中表现最差的成分。

      （1）“最小化最大值问题”

      一般来说，优化时考虑的是目标函数的最大化或最小化的问题。但是在某些情况下，则要求最大值的最小化才有意义。例如，在城市规划中需要确定急救中心、消防中心的位置，可取的目标函数应该是到所有地点最大距离的最小值（即急救中心、消防中心的建设位置应保证它到最远需求点的距离尽可能小），而不是到达所有目的地距离和的最小值。因为城市同时发生事故或同时着火的几率极低，因此更多应该考虑如何降低最恶劣情况的影响，即使是最远的地方出事了，中心到它们的距离也能达到最小。

      （2）“最大化最小值问题”

      这个问题在通信链路中应用比较多，如基站同时和多用户通信，每个基站到用户的通信为一个通信链路，且基站的发射功率是固定的。为了保证所有的通信链路都正常工作，应该去优化最差链路的通信情况，降低信道较好链路的基站发射功率，增加信道较差链路的基站发射功率，这是一个最大化最小值问题。

 【例1】数列分段。

题目描述

对于给定的一个长度为n的正整数数列a-i，现要将其分成m(m≤n)段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

关于最大值最小：

例如一数列4 2 4 5 1要分成3段

将其如下分段：

[4 2] [4 5] [1]

第1段和为6，第2段和为9，第3段和为1，和最大值为9。

将其如下分段：

[4] [2 4] [5 1]

第1段和为4，第2段和为6，第3段和为6，和最大值为6。

并且无论如何分段，最大值不会小于6。

所以可以得到要将数列4 2 4 5 1要分成3段，每段和的最大值最小为6。

输入输出格式

输入格式：

第1行包含两个正整数n，m（n≤100000,m≤n）。

第2行包含n个空格隔开的非负整数ai（ai之和不超过10^9）

输出格式：

一个正整数，即每段和最大值最小为多少。

输入输出样例

输入样例#1： 

5 3

4 2 4 5 1

输出样例#1： 

6

      （1）编程思路。

      要解决这个最小化最大值的问题，基本思路就是选取任意一个范围（输入数组的最大值到数组所有元素的和），然后在这个范围内进行二分法，每次把范围的中间值mid当作最小值，然后判断在mid值下数组是否能够被分为m个部分。如果判断出值为mid时可以将数组分成m个部分，就先让mid变大再试试，即增大下界（left=mid+1）；如果分不成m个部分，说明当前的mid太大了，就先让mid变小再进行判断，即减小上界（right=mid）。直到求出一个最大的mid就是最终的答案。

      （2）源程序。

#include <stdio.h>

int n,m;

int a[100000];

bool judge(int mid)

{

     int sum=0;

     int count=0;

     for(int i=0;i<n;i++)

     {

             sum += a[i];

             if(sum>mid)

             {

                 sum=a[i];

                 count++;        

             }

     }

     if ((count+1)<=m)

        return 1;

     return 0;

}

int main()

{

    scanf("%d%d",&n,&m);

    int left=-1,right=0,mid,i;

    for(i=0;i<n;i++)

    {

       scanf("%d",&a[i]);   

       right += a[i];

       if(a[i]>left)

       {

          left = a[i];            

       }

    } 

    while(left<right)

    {

         mid=(left+right)/2;

         if(judge(mid))

         {

            right = mid;               

        }

        else

        {

          left = mid+1;

        }

    }

    printf("%d\n",left);

   return 0;

}