Leetcode刷题 java实现最低票价问题

题目描述

在一个火车旅行很受欢迎的国度，你提前一年计划了一些火车旅行。在接下来的一年里，你要旅行的日子将以一个名为 days 的数组给出。每一项是一个从 1 到 365 的整数。

火车票有三种不同的销售方式：

一张为期一天的通行证售价为 costs[0] 美元；
一张为期七天的通行证售价为 costs[1] 美元；
一张为期三十天的通行证售价为 costs[2] 美元。
通行证允许数天无限制的旅行。 例如，如果我们在第 2 天获得一张为期 7 天的通行证，那么我们可以连着旅行 7 天：第 2 天、第 3 天、第 4 天、第 5 天、第 6 天、第 7 天和第 8 天。

返回你想要完成在给定的列表 days 中列出的每一天的旅行所需要的最低消费。

示例 1：

输入：days = [1,4,6,7,8,20], costs = [2,7,15]
输出：11
解释：
例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划：
在第 1 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 1 天生效。
在第 3 天，你花了 costs[1] = $7 买了一张为期 7 天的通行证，它将在第 3, 4, …, 9 天生效。
在第 20 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 20 天生效。
你总共花了 $11，并完成了你计划的每一天旅行。
示例 2：

输入：days = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,30,31], costs = [2,7,15]
输出：17
解释：
例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划：
在第 1 天，你花了 costs[2] = $15 买了一张为期 30 天的通行证，它将在第 1, 2, …, 30 天生效。
在第 31 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 31 天生效。
你总共花了 $17，并完成了你计划的每一天旅行。

提示：
1 <= days.length <= 365
1 <= days[i] <= 365
days 按顺序严格递增
costs.length == 3
1 <= costs[i] <= 1000

解题思路

这里使用动态规划来实现，使用动态规划进行求解是将原问题划分为多个子问题，每个子问题所需要的解是上一个子问题的解。需要使用一个数组存储每个子问题的解。
动态规划问题的最重要的三步是：
1、明确创建什么样的dp数组
2、初始化dp数组
3、明确动态转移方程

分析如下

很多方法都是倒序进行动态规划，这里我使用正序的思路来进行动态规划。我们先分析，后面附上图解！

1. 首先定义一个一维数组dp 存储当前某一天所需要花费的最少费用，这里为了下标可以和天数对应，dp数组的长度选择days中最后一个天数加1。
2. 初始时，dp数组中的元素值都为0，之后动态更新dp数组中每个值，动态更新时，先考虑当前天数是否再days中。考虑两种情况：
3. 第一种是：如果在days中，则分为三种方案进行考虑,从三种方案中选取一个最小的费用，放到dp[i]中。（注意这里的max(0,(i-7))是为了防止越界问题。）

 dp[i]=min(cos[0]+dp[max(0,(i-1))],cos[1]+dp[max(0,(i-7))],cos[2]+dp[max(0,(i-30))])

4. 如果不在days中，则当前花费的费用和前一天花费的费用相同。

 dp[i]=dp[i-1] 

最后的解就是dp中最后一个元素对应的值。
经过以上的分析，可以得到下面的图：

代码如下

 public int mincostTickets(int[] days, int[] costs) {
        int[] dp=new int[days[days.length-1]+1];
        int index=0;//用来表示days数组的下标
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            if (i==days[index]){ //表示这一天需要旅行。所花费的最少的费用，三种方案选一个

                dp[i]=Math.min(Math.min(costs[0]+dp[Math.max(0,(i-1))],costs[1]+dp[Math.max(0,(i-7))]),costs[2]+dp[Math.max(0,(i-30))]);
                //并将index++,判断下一个要旅行的天数是不是在dp数组中
                index++;
            }else { //dp中i这一天不需要旅行，则花费和前一天的花费一样，保持不变
                dp[i]=dp[i-1];
            }
        }
        //最后循环结束，所需要花费的最少的费用就是dp数组中最后一个元素的值
        return dp[dp.length-1];
    }