提高篇（1）：RMQ问题与ST表

RMQ是英文Range Minimum/Maximum Query的缩写，是询问某个区间内的最值，这里讲一种解法：ST算法

ST算法通常用在要多次（10^6级别）询问区间最值的问题中，相比于线段树，它实现更简单，效率更高，但不支持修改，且一般只能维护最值。

ST算法实际上是动规，原理如下：

预处理：

一组数a[1]..a[n]，设f[i][j]表示从a[i]到a[i+2^j-1]这个范围中的最值，元素个数为2^j个。

可以分成2部分，即从a[i]至a[i+2^(j-1)-1]与a[i+2^(j-1)]至a[i+2^j-1]，所以

f[i][j]也可以分成f[i][j-1]与f[i+2^(j-1)][j-1]，整个区间的最大值一定是左右两部分最大值的较大值，

于是可得状态转移方程：f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^(j-1)][j-1])，边界条件为f[i][0]=a[i]，这样即可在O(n log(n))的时间内预处理f数组。

询问：

若询问区间[l,r]的最大值，可以先求出最大的x，满足2^x<=r-l+1，那么区间[l,r]=[l,l+2^x-1]U[r-2^x+1,r]，两个区间的元素个数都为2^x，

所以[l,r]中的最大值为max(f[l][x],f[r-2^x+1][x])，可以在O(1)内计算出来（对于m次询问，需要O(m)的时间复杂度）。这两个区间虽然有交集，但对最值没有影响，这就是ST算法只使用于区间最值的原因。

总结：

求区间[x,y]的最大值：

k=log2(y-x+1);

ans=max(f[x][k],f[y-2^k+1][k]);

技巧：

因为cmath库中的log2函数效率不高，所以为了提高速度，通常会使用O(N)的递推预处理出1~N这N种区间长度各自对应的k值。

具体地，设log[x]表示log2(x)向下取整，则log[x]=log[x/2]+1。这样总时间复杂度为log(n*log(n)+m+n)。

放一道例题：

平衡阵容（Balanced Lineup）

题目描述

每天,农夫 John 的N(1 <= N <= 50,000)头牛总是按同一序列排队. 有一天, John决定让一些牛们玩一场飞盘比赛. 他准备找一群在对列中为置连续的牛来进行比赛. 但是为了避免水平悬殊,牛的身高不应该相差太大. John 准备了Q (1 <= Q <= 180,000) 个可能的牛的选择和所有牛的身高 (1 <= 身高 <= 1,000,000). 他想知道每一组里面最高和最低的牛的身高差别. 注意: 在最大数据上, 输入和输出将占用大部分运行时间. 

输入

6 3

1

7

3

4

2

5

1 5

4 6

2 2

输出

6

3

0

[参考程序]

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<climits>
 5 #include<cmath>
 6 #include<algorithm>
 7 using namespace std;
 8     
 9 const int N = 50005;
10 int FMAX[N][20], FMIN[N][20];
11     
12 void RMQ(int n)
13 {
14     for(int j = 1; j != 20; ++j)
15     {
16         for(int i = 1; i <= n; ++i)
17         {
18             if(i + (1 << j) - 1 <= n)
19             {
20                 FMAX[i][j] = max(FMAX[i][j - 1], FMAX[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
21                 FMIN[i][j] = min(FMIN[i][j - 1], FMIN[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
22             }
23         }
24     }
25 }
26     
27 int main()
28 {
29     int num, query;
30     int a, b;
31     while(scanf("%d %d", &num, &query) != EOF)
32     {
33         for(int i = 1; i <= num; ++i)
34         {
35             scanf("%d", &FMAX[i][0]);
36             FMIN[i][0] = FMAX[i][0];
37         }
38         RMQ(num);
39         while(query--)
40         {
41             scanf("%d%d", &a, &b);
42             int k = (int)(log(b - a + 1.0) / log(2.0));
43             int maxsum = max(FMAX[a][k], FMAX[b - (1 << k) + 1][k]);
44             int minsum = min(FMIN[a][k], FMIN[b - (1 << k) + 1][k]);
45             printf("%d\n", maxsum - minsum);
46         }
47     }
48     return 0;
49 }

参考书籍：《信息学奥赛一本通·提高篇》