python实现三次样条插值

本文实例为大家分享了python实现三次样条插值的具体代码，供大家参考，具体内容如下

函数：

算法分析

三次样条插值。就是在分段插值的一种情况。

要求：

• 在每个分段区间上是三次多项式（这就是三次样条中的三次的来源）
• 在整个区间（开区间）上二阶导数连续（当然啦，这里主要是强调在节点上的连续）
• 加上边界条件。边界条件只需要给出两个方程。构建一个方程组，就可以解出所有的参数。
  

这里话，根据第一类样条作为边界。（就是知道两端节点的导数数值，然后来做三次样条插值）

但是这里也分为两种情况，分别是这个数值是随便给的一个数，还是说根据函数的在对应点上数值给出。

情况一：两边导数数值给出

这里假设数值均为1。即 f′(x0)=f′(xn)=f′(xn)=1的情况。

情况一图像

情况一代码

import numpy as np
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt


def f(x):
 return 1 / (1 + x ** 2)


def cal(begin, end, i):
 by = f(begin)
 ey = f(end)
 i = ms[i] * ((end - n) ** 3) / 6 + ms[i + 1] * ((n - begin) ** 3) / 6 + (by - ms[i] / 6) * (end - n) + (
  ey - ms[i + 1] / 6) * (n - begin)
 return i


def ff(x): # f[x0, x1, ..., xk]
 ans = 0
 for i in range(len(x)):
 temp = 1
 for j in range(len(x)):
  if i != j:
  temp *= (x[i] - x[j])
 ans += f(x[i]) / temp
 return ans


def calm():
 lam = [1] + [1 / 2] * 9
 miu = [1 / 2] * 9 + [1]
 # y = 1 / (1 + n ** 2)
 # df = diff(y, n)
 x = np.array(range(11)) - 5
 # ds = [6 * (ff(x[0:2]) - df.subs(n, x[0]))]
 ds = [6 * (ff(x[0:2]) - 1)]
 for i in range(9):
 ds.append(6 * ff(x[i: i + 3]))
 # ds.append(6 * (df.subs(n, x[10]) - ff(x[-2:])))
 ds.append(6 * (1 - ff(x[-2:])))
 mat = np.eye(11, 11) * 2
 for i in range(11):
 if i == 0:
  mat[i][1] = lam[i]
 elif i == 10:
  mat[i][9] = miu[i - 1]
 else:
  mat[i][i - 1] = miu[i - 1]
  mat[i][i + 1] = lam[i]
 ds = np.mat(ds)
 mat = np.mat(mat)
 ms = ds * mat.i
 return ms.tolist()[0]


def calnf(x):
 nf = []
 for i in range(len(x) - 1):
 nf.append(cal(x[i], x[i + 1], i))
 return nf


def calf(f, x):
 y = []
 for i in x:
 y.append(f.subs(n, i))
 return y


def nfsub(x, nf):
 tempx = np.array(range(11)) - 5
 dx = []
 for i in range(10):
 labelx = []
 for j in range(len(x)):
  if x[j] >= tempx[i] and x[j] < tempx[i + 1]:
  labelx.append(x[j])
  elif i == 9 and x[j] >= tempx[i] and x[j] <= tempx[i + 1]:
  labelx.append(x[j])
 dx = dx + calf(nf[i], labelx)
 return np.array(dx)


def draw(nf):
 plt.rcparams['font.sans-serif'] = ['simhei']
 plt.rcparams['axes.unicode_minus'] = false
 x = np.linspace(-5, 5, 101)
 y = f(x)
 ly = nfsub(x, nf)
 plt.plot(x, y, label='原函数')
 plt.plot(x, ly, label='三次样条插值函数')
 plt.xlabel('x')
 plt.ylabel('y')
 plt.legend()

 plt.savefig('1.png')
 plt.show()


def losscal(nf):
 x = np.linspace(-5, 5, 101)
 y = f(x)
 ly = nfsub(x, nf)
 ly = np.array(ly)
 temp = ly - y
 temp = abs(temp)
 print(temp.mean())


if __name__ == '__main__':
 x = np.array(range(11)) - 5
 y = f(x)

 n, m = symbols('n m')
 init_printing(use_unicode=true)
 ms = calm()
 nf = calnf(x)
 draw(nf)
 losscal(nf)

情况二：两边导数数值由函数本身算出

这里假设数值均为1。即 f′(xi)=s′(xi)(i=0,n)f′(xi)=s′(xi)(i=0,n)的情况。

情况二图像

情况二代码

import numpy as np
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt


def f(x):
 return 1 / (1 + x ** 2)


def cal(begin, end, i):
 by = f(begin)
 ey = f(end)
 i = ms[i] * ((end - n) ** 3) / 6 + ms[i + 1] * ((n - begin) ** 3) / 6 + (by - ms[i] / 6) * (end - n) + (
  ey - ms[i + 1] / 6) * (n - begin)
 return i


def ff(x): # f[x0, x1, ..., xk]
 ans = 0
 for i in range(len(x)):
 temp = 1
 for j in range(len(x)):
  if i != j:
  temp *= (x[i] - x[j])
 ans += f(x[i]) / temp
 return ans


def calm():
 lam = [1] + [1 / 2] * 9
 miu = [1 / 2] * 9 + [1]
 y = 1 / (1 + n ** 2)
 df = diff(y, n)
 x = np.array(range(11)) - 5
 ds = [6 * (ff(x[0:2]) - df.subs(n, x[0]))]
 # ds = [6 * (ff(x[0:2]) - 1)]
 for i in range(9):
 ds.append(6 * ff(x[i: i + 3]))
 ds.append(6 * (df.subs(n, x[10]) - ff(x[-2:])))
 # ds.append(6 * (1 - ff(x[-2:])))
 mat = np.eye(11, 11) * 2
 for i in range(11):
 if i == 0:
  mat[i][1] = lam[i]
 elif i == 10:
  mat[i][9] = miu[i - 1]
 else:
  mat[i][i - 1] = miu[i - 1]
  mat[i][i + 1] = lam[i]
 ds = np.mat(ds)
 mat = np.mat(mat)
 ms = ds * mat.i
 return ms.tolist()[0]


def calnf(x):
 nf = []
 for i in range(len(x) - 1):
 nf.append(cal(x[i], x[i + 1], i))
 return nf


def calf(f, x):
 y = []
 for i in x:
 y.append(f.subs(n, i))
 return y


def nfsub(x, nf):
 tempx = np.array(range(11)) - 5
 dx = []
 for i in range(10):
 labelx = []
 for j in range(len(x)):
  if x[j] >= tempx[i] and x[j] < tempx[i + 1]:
  labelx.append(x[j])
  elif i == 9 and x[j] >= tempx[i] and x[j] <= tempx[i + 1]:
  labelx.append(x[j])
 dx = dx + calf(nf[i], labelx)
 return np.array(dx)


def draw(nf):
 plt.rcparams['font.sans-serif'] = ['simhei']
 plt.rcparams['axes.unicode_minus'] = false
 x = np.linspace(-5, 5, 101)
 y = f(x)
 ly = nfsub(x, nf)
 plt.plot(x, y, label='原函数')
 plt.plot(x, ly, label='三次样条插值函数')
 plt.xlabel('x')
 plt.ylabel('y')
 plt.legend()

 plt.savefig('1.png')
 plt.show()


def losscal(nf):
 x = np.linspace(-5, 5, 101)
 y = f(x)
 ly = nfsub(x, nf)
 ly = np.array(ly)
 temp = ly - y
 temp = abs(temp)
 print(temp.mean())


if __name__ == '__main__':
 x = np.array(range(11)) - 5
 y = f(x)

 n, m = symbols('n m')
 init_printing(use_unicode=true)
 ms = calm()
 nf = calnf(x)
 draw(nf)
 losscal(nf)

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持。