维度灾难--通过Python理解高维空间欧氏距离与余弦相似度失效

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维度灾难

维数灾难(Curse of Dimensionality)：通常是指在涉及到向量的计算的问题中，随着维数的增加，计算量呈指数倍增长的一种现象。维数灾难涉及数字分析、抽样、组合、机器学习、数据挖掘和数据库等诸多领域。

此处讨论高维情况下，距离函数的计算是否具有意义。

欧氏距离与余弦相似度区别

欧氏距离衡量的是空间各点的绝对距离，跟各个点所在的位置坐标直接相关；而余弦距离衡量的是空间向量的夹角，更加体现在方向上的差异，而不是位置。

欧氏距离能够体现个体数值特征的绝对差异，所以更多的用于需要从维度的数值大小中体现差异的分析，如使用用户行为指标分析用户价值的相似度或差异。

余弦距离更多的是从方向上区分差异，而对绝对的数值不敏感，更多的用于使用用户对内容评分来区分兴趣的相似度和差异，同时修正了用户间可能存在的度量标准不统一的问题（因为余弦距离对绝对数值不敏感）。

实验

实现从2维到50维分别计算欧氏距离和余弦相似度下的最大最小距离之间的差距 :

并且对最后的结果取lg，即 ，做出差距随维数的变化图像如下图所示：

由上图可知，随着维数增加，差距逐渐减小，即“维数灾难”，数据维数增加，最大最小距离，最大最小相似度趋近于零，无法判别，距离函数和余弦相似度函数在高维环境下失去其意义。

import random
import math
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 指定默认字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题

def euclidien_distence(x, y):
    """计算两个向量x和y的欧氏距离"""
    vec1, vec2 = np.mat(x), np.mat(y)
    return np.sqrt(np.sum(np.square(vec1 - vec2)))

def cosine_similarity(x, y, norm=False):
    """ 计算两个向量x和y的余弦相似度 """
    assert len(x) == len(y), "len(x) != len(y)"
    if len(x) == 1:
        return 1
    zero_list = [0] * len(x)
    if x == zero_list or y == zero_list:
        return float(1) if x == y else float(0)

    res = np.array([[x[i] * y[i], x[i] * x[i], y[i] * y[i]] for i in range(len(x))])
    cos = sum(res[:, 0]) / (np.sqrt(sum(res[:, 1])) * np.sqrt(sum(res[:, 2])))

    return 0.5 * cos + 0.5 if norm else cos  # 归一化到[0, 1]区间内

def generate_data(dim):
	"""生成dim维的500个数据，数据格式：500*dim"""
	data = [[] for _ in range(500)]
	for i in range(500):
	for j in range(dim):
	    num = random.random()
	    data[i].append(num)
	return data

def main():
	euc_diff_list = [] # 存储欧氏距离下最大最小距离之间的距离
	cos_diff_list = [] # 存储余弦相似度下最大最小相似度之间的距离
	for dim in range(2, 51): # 由于1维情况，无法计算余弦相似度，故从2-50维
	    data = generate_data(dim)
	    euc_distence_list = []
	    cos_distence_list = []
	    for i in range(499):
	        for j in range(i+1, 500):
	            euc_distence_list.append(euclidien_distence(data[i], data[j]))
	            cos_distence_list.append(cosine_similarity(data[i], data[j]))
	    euc_diff_list.append(math.log((max(euc_distence_list) - min(euc_distence_list))/min(euc_distence_list), 10))
	    cos_diff_list.append(math.log((max(cos_distence_list) - min(cos_distence_list))/min(cos_distence_list), 10))

	"""绘图"""
	x = list(range(2, 51))
	plt.plot(x, euc_diff_list, label = '欧氏距离')
	plt.plot(x, cos_diff_list, label = '余弦相似度')
	plt.title('Curse of Dimensionality')
	plt.xlabel('维度')
	plt.ylabel('lg(dif)')
	plt.legend(loc = 'upper right')

if __name__ =="__main__":
	main()

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