你想过吗：为什么打印纸都用A4？

我向来对于高声嚷嚷着“客人至上，服务第一”的口号，有种无法完全信服的感觉。毕竟说起服务这种事情，应该不是以“让客人感受到的程度”为指标。举例来说，逛街时要是专柜小姐一直如影随形地跟在一旁，贴心介绍每一件你只有食指碰到的商品，再拿五种颜色让你试穿，虽然服务周到得没话说，压力却也大得让人没办法说话。最极致的服务，应该要让客人以自己喜欢的方式，从事喜欢的行为，完全察觉不到正在被服务。

就这点来说，我认为可以跟复印机里的a4纸学习服务的精神。

利希腾贝格比例

a4纸是生活中最常用的纸规格。a系列的纸张规格特色在于：

1、a0、a2、…、a5，所有尺寸的纸张长宽比都相同。

2、a0对裁后可以得到2张a1，a1对裁可以得到2张a2，依此类推。

这两项特色让a系列规格的纸张非常好用，画在a4纸上的图画可以等比例放大到a0海报上。手边只要有某一款a系列的纸，即能做出任意大小的a系列。

但事实上，不是任意一张纸对裁，都可以得到比例跟原来的纸一模一样的两张纸，只有a系列纸张特殊的长宽比——利希腾贝格比例(lichtenberg ratio)的特殊比例，才能带来这种特性。

举实际的数字给各位看：a4是21厘米×29.7厘米 ，29.7/21 =1.41；a5是29.7/2 = 14.8厘米×21厘米，21/14.8= 1.41；a0是84.1厘米×118.9厘米，118.9/84.1=1.41，都趋近于。

换句话说，我们都享用了利希腾贝格比例的好处，却很少人知道利希腾贝格比例是什么。某种程度上，这就是最极致的体贴，让人享用到它的好，却察觉不到它的存在。

嗯，我不是在讲女性用品广告台词，虽然两者间很相似(以每一种距离来说都是)。

躲在a4里面，还有更了不起的比例

黄金比例(golden ratio) 1.618可以称之为比例之王，不管从google搜寻或被应用的范围来说，他都是最常见的比例，不过，事实上还有类似黄金比例的比例，和利希腾贝格比例一样隐藏在a4纸里面，名字刚好跟《圣斗士星矢》里圣斗士的阶级相同，是黄金圣斗士之下的白银圣斗士，不，白银比例(silver ratio)——2.414。

只要以a4纸的短边为边长，划出一个正方形并裁掉，剩下长方形的长宽比即是白银比例。我们可以验证一下，a4纸的长宽比是：1，用短边划出正方形并裁掉后，剩下长方形的长宽比将会是1: [] = 2.414。

我们也可以把白银比例表示成，它和()/2的黄金比例有许多相似之处。例如，他们都和某个数列有关。先前介绍过黄金比例和费波那契数列(fibonacci series)：1、1、2、3、5、8、13、21、…。后一组数字除以前一组数字，便可以得到近似于黄金比例的比值。白银比例则用上了佩尔数列(pell series)：1、2、5、12、29、…。拿前后两组数字相除，可以得到2、2.5、2.4、2.41、…越来越接近白银比例2.414。

我们可以用图形的方式来解释，为何费波那契数列和佩尔数列中产生黄金比例和白银比例。

首先，费波那契数列的第n组数字是前两组数字的和，意即p_n = p_n-1 + p_n-2，例如21=8+13。佩尔数列的第n组数字前一组数字的两倍加上再前一组数字，意即p_n = 2p_n-1 + p_n-2。例如29=12×2+5。再将费波那契跟佩尔数列的递归表示法除以pn-1，可以得到:

p_n/ p_n-1 = 1+ p_n-2/ p_n-1

p_n/ p_n-1 = 2+ p_n-2/ p_n-1

第一个式子表示，大的黄金比例长方形是一个正方形加上一个小黄金比例的长方形。

第二个式子则是，大的白银比例长方形可以由两个正方形加上一个小的白银比例长方形组合而成.如下图所示：

白银比例的服务精神

利希腾贝格比例让纸张的使用更加便利，黄金比例跟白银比例的用途更广泛，其中之一是在艺术上的贡献。例如下面的绿色菱形，对角线的长宽比刚好是白银比例，因此可以用方才的几何规则“两个大的加一个小的”，将三个这样的菱形，其中两个横放，三个并排，制造出一个等比例放大的蓝色菱形，放大的比例刚好是白银比例。

这种特殊的菱形与正方形，是下图复杂的*风格拼贴镶嵌的基本元素。

比起一般地板磁砖的正方形，或蜂巢状的六角形镶嵌，这种镶嵌更华丽美观。这么复杂的镶嵌，除了基本构成的菱形需要白银比例，镶嵌过程也需要用上白银比例，最后构成的众多正八边形里，依然也有白银比例。

可以看见，白银比例一样提供了最佳的服务，让使用者察觉不到，却因为它获益良多。最起码豪宅里使用了这种镶嵌技术(ammann-beenker tiling)的土豪一定不知道背后有白银比例，不然他铁定会把设计师叫过来臭骂一顿：

“为什么不用黄金比例，要用白银比例呢？！”

有噢，有黄金比例的镶嵌，称之为彭罗斯拼图(penrose tiling)，数学可是最有服务精神，服务最周到的科学了。