虚树入门

简介

虚树，顾名思义就是不真实的树。

它往往出现在一类树形动态规划问题中。

换句话说，虚树实际就是为了解决一类树形动态规划问题而诞生的！

我们从一道经典的虚树题目入手

[SDOI2011]消耗战

链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2495

题目大意

给出一棵树，每条边有边权。

有$m$次询问，每次询问给出$k$个点，问使得这$k$个点均不与$1$号点(根节点)相连的最小代价

$n<=250000, m>=1,\sum k <= 500000$(m是smg..)

暴力dp

首先考虑$m=1$，也就是只有一次询问的情况。我们考虑暴力dp

设$f[x]$为处理完以$x$为根的树的最小代价

转移分为两种情况

1.断开自己与父亲的联系，代价为从根到该节点的最小值

2.不考虑该节点(前提是该节点不是询问点)，把子树内的所有询问点都断开的代价

但是这样的复杂度是$O(nm)$的，显然无法AC

然而我们发现$\sum k$是比较小的，我们可不可以对$k$下手呢？

于是，虚树诞生了

虚树

思想

虚树的主要思想是：对于一棵树，仅仅保留有用的点，重新构建一棵树

这里有用的点指的是询问点和它们的lca

煮个栗子

比如这样的一棵树（没错就是样例）

对于样例中的三次询问，

3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6

那么它的虚树分别长这样

          

 

第二张比较鬼畜，因为在这道题中我们必须要断开$5$号点，因此$7,8$号点用不到

 

构建

考虑得到了询问点，如何构造出一棵虚树。

首先我们要先对整棵树dfs一遍，求出他们的dfs序，然后对每个节点以dfs序为关键字从小到大排序

同时维护一个栈，表示从根到栈顶元素这条链

假设当前要加入的节点为$p$，栈顶元素为$x = s[top]$，$lca$为他们的最近公共祖先

因为我们是按照dfs序遍历，因此$lca$不可能是$p$

那么现在会有两种情况

1. $lca$是$x$，直接将$p$入栈。
2. $x,p$分别位于$lca$的两棵子树中，此时$x$这棵子树已经遍历完毕，（如果没有，即x的子树中还有一个未加入的点y，但是dfn[y]<dfn[p]，即应先访问y）， 我们需要对其进行构建

 

设栈顶元素为$x$，第二个元素为$y$

 

—若$dfn[y]>dfn[lca]$，可以连边$y->x$，将$x$出栈；

—若$dfn[y]=dfn[lca]$，即$y=lca$，连边$lca->x$，此时子树构建完毕(break)；

—若$dfn[y]<dfn[lca]$，即$lca$在$y,x$之间，连边$lca->x$，$x$出栈，再将$lca$入栈。此时子树构建完毕(break)。

此处较为抽象，建议大家画图理解一下

不断重复这个过程，虚树就构建完成了，另外我们需要维护出链上的最小值，然后我们直接在虚树上dp就可以了

 

复杂度

虚树上除了要加入的询问点外，还有可能出现的$LCA$。

假设当前要加入$x$，它与之前加入的y产生一个新的$LCA$记作$lca1$，还与之前的$z$产生一个新的$LCA$记作$lca2$。

设$dep[lca1]<dep[lca2]$(否则交换$y,z$即可)

那么$LCA(y,z)=lca1$，所以假设不成立。

即每次加入点，最多会产生一个新的$LCA$。

那么虚树中的点数是$O(2*k)$的。

这样复杂度就只与k有关，$O(2*\sum k_i)$。

 

代码

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
#define LL long long
char buf[(1 << 21) + 1], *p1 = buf, *p2 = buf;
using namespace std;
const int MAXN = 250001;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
char obuf[1 << 24], *O=obuf;
void print(LL x) {
    if(x > 9) print(x / 10);
    *O++= x % 10 + '0';
}
int N, M;
struct Edge {
    int u, v, w, nxt;
}E[MAXN << 1];
int head[MAXN], num = 1;
inline void AddEdge(int x, int y, int z) {
    E[num] = (Edge) {x, y, z, head[x]};
    head[x] = num++;
}
vector<int> v[MAXN];
void add_edge(int x, int y) {
    v[x].push_back(y);
}
int a[MAXN], dfn[MAXN], topf[MAXN], siz[MAXN], son[MAXN], s[MAXN], top, deep[MAXN], fa[MAXN], ID = 0;
LL mn[MAXN];
void dfs1(int x, int _fa) {
    siz[x] = 1; fa[x] = _fa;
    for(int i = head[x]; i != -1; i = E[i].nxt) {
        if(E[i].v == _fa) continue;
        deep[E[i].v] = deep[x] + 1;
        mn[E[i].v] = min(mn[x], (LL)E[i].w);
        dfs1(E[i].v, x);
        siz[x] += siz[E[i].v];
        if(siz[E[i].v] > son[x]) son[x] = E[i].v;
    }
}
void dfs2(int x, int topfa) {
    topf[x] = topfa;
    dfn[x] = ++ID;
    if(!son[x]) return ;
    dfs2(son[x], topfa);
    for(int i = head[x]; i != -1; i = E[i].nxt) 
        if(!topf[E[i].v]) 
            dfs2(E[i].v, E[i].v);
}
int LCA(int x, int y) {
    while(topf[x] != topf[y]) {
        if(deep[topf[x]] < deep[topf[y]]) swap(x, y);
        x = fa[topf[x]];
    }
    if(deep[x] < deep[y]) swap(x, y);
    return y;
}
void insert(int x) {
    if(top == 1) {s[++top] = x; return ;}
    int lca = LCA(x, s[top]);
    if(lca == s[top]) return ;
    while(top > 1 && dfn[s[top - 1]] >= dfn[lca]) add_edge(s[top - 1], s[top]), top--;
    if(lca != s[top]) add_edge(lca, s[top]), s[top] = lca;//
    s[++top] = x;
}
LL DP(int x) {
    if(v[x].size() == 0) return mn[x];
    LL sum = 0;
    for(int i = 0; i < v[x].size(); i++) 
        sum += DP(v[x][i]);
    v[x].clear();
    return min(sum, (LL)mn[x]);
}
int comp(const int &a, const int &b) {
    return dfn[a] < dfn[b];
}
int main() {
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in", "r", stdin);
    #endif
    memset(head, -1, sizeof(head));
    //memset(mn, 0xff, sizeof(mn));
    mn[1] = 1ll << 60;
    N = read();
    for(int i = 1; i <= N - 1; i++) {
        int x = read(), y = read(), z = read();
        AddEdge(x, y, z); AddEdge(y, x, z);
    }
    deep[1] = 1;
    dfs1(1, 0);
    dfs2(1, 1);
    M = read();
    /*for(int i = 1; i <= N; i++)    
        for(int j = 1; j <= N; j++)
            printf("%d %d %d\n", i, j, LCA(i, j));*/
    //for(int i = 1; i <= N; i++) printf("%d ", mn[i]); puts("");
    while(M--) {
        int K = read();
        for(int i = 1; i <= K; i++) a[i] = read();
        sort(a + 1, a + K + 1, comp);
        s[top = 1] = 1;
        for(int i = 1; i <= K; i++) insert(a[i]);
        while(top > 0)  add_edge(s[top - 1], s[top]), top--;
        print(DP(1)), *O++ = '\n'; 
    }
    fwrite(obuf, O-obuf, 1 , stdout);    
    return 0;
}