洛谷P3773 [CTSC2017]吉夫特(Lucas定理,dp)
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2022-10-05 07:58:38
题意 满足$b_1 < b_2 < \dots < b_k$且$a_{b_1} \geqslant a_{b_2} \geqslant \dots \geqslant a_{b_k}$ Sol 组合数取模? 肯定考虑Lucas定理 考虑Lucas定理在最后一步肯定会化为$C(1, 1), C(1, ......
题意
满足$b_1 < b_2 < \dots < b_k$且$a_{b_1} \geqslant a_{b_2} \geqslant \dots \geqslant a_{b_k}$
Sol
组合数取模?
肯定考虑Lucas定理
考虑Lucas定理在最后一步肯定会化为$C(1, 1), C(1, 0), C(0, 0), C(0, 1)$。
很显然$C(0,1)$不存在,而其他的都等于$1$,因此当最后分解为$C(0, 1)$的时候不满足条件。
具体怎么判断呢?观察上式可以得到一个普遍的规律:若$C(x, y) \{x = 0, 1 \ y=0,1 \}$,则$x\&y = y$
根据Lucas定理,显然我们可以把这个公式推广开来。
若$C(n,m)$为奇数,则$n \& m = m$
有了这个定理,我们就可以dp了。直接枚举子集就好。
时间复杂度:
枚举子集的复杂度是$O(3^n)$的,在此题中我们需要枚举二进制位,
因此复杂度为$3^{max log233333}$
#include<iostream> #define LL long long using namespace std; const int mod = 1000000007; LL f[233334], N, ans = 0; int main() { ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cin >> N; for(int i = 1; i <= N; i++) { int x; cin >> x; for(int j = x; j <= 233333; j = j + 1 | x) (f[x] += f[j]) %= mod; (ans += f[x]) %= mod; f[x]++; } cout << ans; return 0; }