ELGamal详解（Java实现）

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elgamal密码

　　elgamal密码是除了rsa之外最有代表性的公开密钥密码之一，它的安全性建立在离散对数问题的困难性之上，是一种公认安全的公钥密码。

离散对数问题

　　设p为素数，若存在一个正整数α，使得α、α²、...、α^p-1关于模p互不同余，则称α为模p的一个原根。于是有如下运算：

　　α的幂乘运算：

y=α^x(mod p)，1≤x≤p-1

　　α的对数运算：

x=log_αy，1≤y≤p-1

　　只要p足够大，求解离散对数问题时相当复杂的。离散对数问题具有较好的单向性。

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elgamal加解密算法

　　1.随机地选择一个大素数p，且要求p-1有大素数因子，将p公开。

　　2.选择一个模p的原根α，并将α公开。

　　3.随机地选择一个整数d（1＜d＜p-1）作为私钥，并对d保密。

　　4.计算公钥y=α^d(mod p)，并将y公开。

加密

　　1.随机地选取一个整数k（1＜k＜p-1）。

　　2.计算u=y^k(mod p)、c₁=α^k(mod p)、c₂=um(mod p)。

　　3.取(c₁,c₂)作为密文。

解密

　　1.计算v=c₁^d(mod p)。

　　2.计算m=c₂v^-1(mod p)。

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elgamal算法细节

　　实现elgamal算法，需要实现以下几个部分：

　　1.对大数的素数判定；

　　2.判断原根；

　　3.模指运算；

　　4.模逆运算。

判断原根

　　已知a和m互素，如果d是满足a^d=1(mod m)的最小正整数，则称d为a模m的阶，记为d=σ_m(a)。由于a和m互素，根据欧拉定理可知a^φ(m)=1(mod m)，由此可以得到σ_m(a) | φ(m)。

　　若a是m的原根，则σ_m(a)=φ(m)。

　　根据上述两点，推出逆否命题：如果∃d | φ(m)且d≠φ(m)，使得a^d=1(mod m)，则a不是模m的原根。所以判断a是否为模m的原根，最快的方法就是判断φ(m)的每一个因子d是否使得a^d=1(mod m)。如果满足a^d=1(mod m)的d=φ(m)，则a是模m的原根。

　　e.m.判断2是不是模11的原根

φ(11)=10

　　       10的因子有1、2、5、10，所以：

2(mod 11)=2

2²(mod 11)=4

2⁵(mod 11)=10

2¹⁰(mod 11)=1

　　       因此，2是模11的原根。

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elgamal密码的安全性

　　由于elgamal密码的安全性建立在gf(p)上离散对数的困难性之上，而目前尚无求解gf(p)上离散对数的有效算法，所以在p足够大时elgamal密码是安全的。理想情况下p为强素数，p-1=2q，q为大素数。

　　为了安全加密所使用的k必须是一次性的。如果长期使用同一个k加密的话，就可能被攻击者获取，从而根据v=u=y^k(mod p)，m=c₂v^-1(mod p)而得到明文。另外，使用同一个k加密不同的明文m和m^'，则由于

如果攻击者知道m，则很容易求出m^'。此外，k选取时还要保证u=y^k(mod p)≠1。

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java实现

elgamal

 1 do {
 2     p = biginteger.probableprime(100, new random());
 3 } while (p.subtract(biginteger.one).divide(new biginteger("2")).isprobableprime(100));
 4 do {
 5     alpha = new biginteger(100, new random());
 6 } while (! isorigin(alpha, p));
 7 do {
 8     d = new biginteger(100, new random());
 9 } while (d.compareto(biginteger.one) != 1 || d.compareto(p.subtract(biginteger.one)) != -1);
10 y = alpha.modpow(d, p);

 1 /**
 2  * 加密
 3  * @param m
 4  * @return
 5  */
 6 biginteger[] encrypt(biginteger m) {
 7     biginteger[] c = new biginteger[2];
 8     biginteger k, u;
 9     do {
10         do {
11             k = new biginteger(100, new random());
12         } while (k.compareto(biginteger.one) != 1 || k.compareto(p.subtract(biginteger.one)) != -1);
13         u = y.modpow(k, p);
14     } while (u.intvalue() != 1);
15     c[0] = alpha.modpow(k, p);
16     c[1] = u.multiply(m).mod(p);
17     return c;
18 }

 1 /**
 2  * 解密
 3  * @param c
 4  * @return
 5  */
 6 biginteger decrypt(biginteger[] c) {
 7     biginteger v = c[0].modpow(d, p);
 8     biginteger m = c[1].multiply(v.modpow(new biginteger("-1"), p)).mod(p);
 9     return m;
10 }

判断原根

 1 /**
 2  * 判断a是否为模m的原根，其中m为素数
 3  * @param a
 4  * @param m
 5  * @return
 6  */
 7 static boolean isorigin(biginteger a, biginteger m) {
 8     if (a.gcd(m).intvalue() != 1) return false;
 9     biginteger i = new biginteger("2");
10     while (i.compareto(m.subtract(biginteger.one)) == -1) {
11         if (m.mod(i).intvalue() == 0) {
12             if (a.modpow(i, m).intvalue() == 1)
13                 return false;
14             while (m.mod(i).intvalue() == 0)
15                 m = m.divide(i);
16         }
17         i = i.add(biginteger.one);
18     }
19     return true;
20 }

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测试

测试数据

　　p=2579

　　α=2

　　d=765

　　m=1299

　　k=853

测试结果

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参考文献

　　张焕国，唐明.密码学引论（第三版）.武汉大学出版社，2015年