利用Python实现最小二乘法与梯度下降算法

导入所需库

%matplotlib inline
import sympy
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x as a,y as b

生成模拟数据

# 模拟函数 y=3x-1

#自变量
x=np.linspace(-5,5,num=1000)
#加入噪声
noise=np.random.rand(len(x))*2-1
#因变量
y=3*x-1+noise

查看所生成数据的图像

plt.figure(figsize=(10,10))
plt.scatter(x,y,s=1)

求代价函数的偏导

y=ax+b  #目标函数

e=1/2*σ([axi+b]-yi)^2   #代价函数，求使得代价函数为最小值时，对应的a和b

对a求偏导->σ(axi+b-yi)*xi

对b求偏导->σ(axi+b-yi)

1. 通过最小二乘法求a，b

我们知道当在a,b处的偏导为0时，代价函数e达到最小值，所以得到二元一次方程组

σ(axi+b-yi)*xi=0
σ(axi+b-yi)=0

该方程组是关于未知数为a,b的二元一次方程组，通过求解该方程，得到a，b

result=sympy.solve([
  np.sum((a*x+b-y)*x),
  np.sum(a*x+b-y)],[a,b])
print(result)	#{x: 3.01182977621975, y: -1.00272253325765}

通过sympy库解方程组，得出了a= 3.01182977621975，b= -1.00272253325765，已经与我们真实的a，b很接近了，下面进行作图

plt.figure(figsize=(10,10))
plt.scatter(x,y,s=1)
plt.plot(x,result[a]*x+result[b],c='red')

print(type(a),type(b))	#<class 'sympy.core.symbol.symbol'> <class 'sympy.core.symbol.symbol'>

2. 通过梯度下降算法求a，b

我们注意到最小二乘法最后一步要求p个方程组，是非常大的计算量，其实计算起来很难，因此我们就有了一种新的计算方法，就是梯度下降法，梯度下降法可以看作是 更简单的一种 求最小二乘法最后一步解方程 的方法

# 注意这里覆盖了sympy.abc的a和b
# 设定a和b的起始点
a,b=0.1,0.1

#步长，也称作学习率
alpha=0.00001

#循环一千次结束
for i in range(1000):
  a-=alpha*np.sum((a*x+b-y)*x)
  b-=alpha*np.sum(a*x+b-y)

print(a,b)	#3.0118297762197526 -1.002674927350334

通过梯度下降法，得出了a= 3.0118297762197526，b= -1.002674927350334，也是很接近真实的a，b值了，作图看看

plt.figure(figsize=(10,10))
plt.scatter(x,y,s=1)
plt.plot(x,a*x+b,c='black')

print(type(a),type(b))	#<class 'numpy.float64'> <class 'numpy.float64'>

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