Tarjan学习笔记
从头开始学习oi之tarjan. 今天重新学习了tarjan算法..来这里写一下学习笔记...
tarjan算法,是一个关于图的联通性的神奇算法.基于dfs(深度优先搜索).是对于有向图的算法是.根据树,栈,打标记等方法来完成剖析一个图的工作.
我们先来学习一下tarjan算法需要知道的定义: 在一个有向图 g 里,有两个点 a,b ,由a有一条路可以走到b,由b又有一条路可以走到a,我们就叫这两个顶点 (a,b) 强连通. 如果在一个有向图 g 中,每两个点都强连通,我们就叫这个图 强连通图。 在一个有向图 g 中,有一个子图,这个子图每2个点都满足强连通,我们就叫这个子图叫做 强连通分量 (如图中的 1,2,3 组成的分量就叫强连通分量) tarjan所做的事情很简单...就是找到每一个强连通分量(单独一个点也算是强连通分量..) 在实现算法之前...我们先定义几个数组:
很明显如果 dfn[i] == low[i] 那么就代表这一个点是一个强连通分量的根
首先来一张有向图 \(g\).我们一点一点来模拟整个算法. 首先是一点一点的入栈..也就是上面dfs遍历的时候的顺序..叫做dfs序或者入栈序..即:
左边这张树的图就是当前操作完成后的dfs树...
发现2号节点还有可以继续遍历下去的边..于是将五号节点压入栈中即:
最后的dfs树是这样的 按照我们找到的根节点拆成一个个的强连通分量 这样就完成了 我们把以一号为开始的连通图都遍历一遍了...为了防止图有多个(不连通) 我们要在调用tarjan的时候这样写 这样就可以把所有的图都给遍历一遍了... 这个图就是刚才讲的那个图。一模一样。 input:用处
强连通,强连通图,强连通分量强连通(strongly connected):
强连通图(strongly connected graph):
强连通分量(strongly connected components):
tarjan算法:
dfn[i] 表示第 i 个节点的时间戳..也就是在dfs这张图的时候这个点被遍历到的时刻..
low[i] 表示第 i 个节点所在的强连通分量的根节点(按理说强连通分量无所谓根节点..这里的根节点是指在那一棵dfs树中这个强连通分量的根节点)
先看一下算法流程void tarjan(int u) {
dfn[u] = low[u] = ++index; //将dfn和low都初始化为时间戳,也就是dfs到的时刻
stack[++top] = u; //将该点压入dfs栈中
vis[u] = 1; //标记点在栈中
for(int i = head[u]; i; i = edge[i].next) { //dfs过程
if(!dfn[edge[i].to]) { //如果该点没有被搜索到过
tarjan(edge[i].to); //对于该点进行算法(即dfs的过程)
low[u] = min(low[u],low[edge[i].to]); //搜索完成返回时更新一下这个强连通分量里的所有点的在dfs树中的根节点
} else if(vis[edge[i].to]) { //如果该点已经在搜索栈中,那么代表当前栈中在这个点后的点在一个强连通分量里,那么这个搜索到的点就是这个强连通分量的根节点..
low[u] = min(low[u],dfn[edge[i].to]); //将当前点所在强连通分量的根节点修改为搜索到的这个节点,也就是根节点..
}
}
if(dfn[u] == low[u]) { //按照上面的定义我们知道这是判断是否是一个强连通分量的根节点
while(stack[top] != u) { //按照上面所说的将该点在栈后的所有节点都弹出(在一个强连通分量里..也就是我们要求的了..可以染色存储起来备用或者缩成一个点(缩点算法))
printf("%d ",stack[top]);
vis[stack[top--]] = 0;
}
printf("%d\n",stack[top]); //弹出当前的这个根
vis[stack[top--]] = 0;
}
}
step1: 1号点入栈 dfn[1] = low[1] = ++index (1)
此时栈为: 1
step2: 2号点入栈 dfn[2] = low[2] = ++index (2)
此时栈为: 1 2
step3: 3号点入栈 dfn[3] = low[3] = ++index (3)
此时栈为: 1 2 3
step4: 6号点入栈 dfn[6] = low[6] = ++index (4)
此时栈为: 1 2 3 6
走到这里之后我们看到右边图中六号节点没有了出边...也就是上面说的第一步或者说是第一个判断结束了...
我们就要开始返回了,明显 low[6] == dfn[6] 所以6就是一个强连通分量的根节点;
栈要一直弹出直到弹出6号节点 此时栈为: 1 2 3
然后返回到三号..三号再无出边..
也一直弹出直到将其弹出 存为一个强连通分量的根 此时栈为: 1 2
dfn[5] = dfn[5] = ++index(5) 此时栈为: 1 2 5
再遍历发现一个6号..已经遍历过就不在管他了..
再遍历发现一个1号节点..1号在栈中..于是进入第二个if语句,修改
low[5] = min(low,low) 所以 low[5] 也就是五号节点所在的强连通分量的根就是1
五号没有出边了..返回上一层..修改 low[2] = min(low,low),low[2] = 1
二号没有出边了..返回上一层..修改 low[1] = min(low,low),low[1] = 1 low[1]依然等于1
一号还有出边..遍历到四号 dfn[4] = low[4] = ++index(6) 此时栈为 1 2 5 4
四号遍历到五号..五号在栈中所以更新一下 low[4] = min(low,low),low[4] = 1;
再返回 low[1] = min(low,low) ,low[1] = 1;
然后1号也没有出边了..这时栈一直弹出直到将1号弹出 栈空for(int i = 1; i <= n; ++i)
if(!dfn[i]) tarjan(i); //如果没有时间戳,那就代表没有遍历到,从此点开始tarjan
来一道裸代码。
输入:
一个图有向图。
输出:
它每个强连通分量。
6 8
1 3
1 2
2 4
3 4
3 5
4 6
4 1
5 6
output:
6
5
3 4 2 1
代码:#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct node {
int to,next;
} edge[1001];
int cnt,index,top;
int dfn[1001],low[1001];
int stack[1001],head[1001],visit[1001];
void add(int x,int y) {
edge[++cnt].next = head[x];
edge[cnt].to = y;
head[x] = cnt;
}
void tarjan(int x) { //代表第几个点在处理。递归的是点。
dfn[x] = low[x] = ++index; // 新进点的初始化。
stack[++top] = x; //进栈
visit[x] = 1; //表示在栈里
for(int i = head[x]; i; i = edge[i].next) {
if(!dfn[edge[i].to]) { //如果没访问过
tarjan(edge[i].to); //往下进行延伸,开始递归
low[x] = min(low[x],low[edge[i].to]);//递归出来,比较谁是谁的儿子/父亲,就是树的对应关系,涉及到强连通分量子树最小根的事情。
} else if(visit[edge[i].to]) { //如果访问过,并且还在栈里。
low[x] = min(low[x],dfn[edge[i].to]);//比较谁是谁的儿子/父亲。就是链接对应关系
}
}
if(low[x] == dfn[x]) { //发现是整个强连通分量子树里的最小根。
do {
printf("%d ",stack[top]);
visit[stack[top]] = 0;
top--;
} while(x != stack[top+1]);//出栈,并且输出。
printf("\n");
}
return ;
}
int main() {
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
int x,y;
for(int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(!dfn[i]) tarjan(i);//当这个点没有访问过,就从此点开始。防止图没走完
return 0;
}
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