数字图像的傅里叶变换(Fourier Transform)及其展示: 频率中心化

本文通过理论和MATLAB实际例子验证如下结论：

1. 大部分图片的有效信息集中在低频部分；

2. 图像傅里叶变换后低频在四周、高频在中心；

3. 图像经过傅里叶变换、频率中心化后能够容易地复原；

从而进一步说明图像通常需要进行频率中心化操作以方便处理；

 

1. 大部分图片的有效信息集中在低频部分

图片的高频部分主要是边缘等细节，主要内容大部分是低频部分。因此，大部分图片的有效信息集中在低频部分。从图3中我们可以看出，在去除图片中频率最低的一小部分后，图像出现了明显的锐化；而反过来，当只保留图像中频率最低的一小部分后，明显有更多的信息得到了保留。

 

2. 图像傅里叶变换后低频在四周、高频在中心

理论解释下面这个链接很到位：

图像经过傅里叶变换以后，得到的频谱图为啥是对称的？又为啥在未频谱居中时，四周代表是低频，中间是高频？ - DBinary的回答 - 知乎

总结起来就是：

二维傅里叶变换是对图像每行做一次一维傅里叶变换,再对其每列做一次一维傅里叶变换,依据从左到右频率增高的原则,最后不就变成了中间是高频,四个角是低频了么.当然为了观察方便常常用fftshift方法将低频移到中心。

Note：一维傅里叶变换本身也是高频在中间，低频在两端，经过fftshift才是低频在中间的样子，可以通过如下MATLAB代码验证：

x=1:0.1:100;
z=0.1*sin(2*pi*x)+1*sin(4*pi*x);
Z = fft(z);
plot(abs(Z));

图形如下：

 

3. 图像经过傅里叶变换、频率中心化后能够容易地复原

傅里叶变换具有可逆性，这也是它能够得到广泛应用的原因之一。而MATLAB中的fft2与ifft2; fftshift与ifftshift则使我们可以很方便地完成这些操作。

 

下图表示出图形的傅里叶变换和频率中心化的结果：

下图是由中心化的频域图复原得到的空间域图，表现了傅里叶变换的可逆性

 

下图是将一小部分低频置零后的结果：

下图则是将除了一小部分低频，其他大部分频域分量均置零后的结果，很好地说明了这个图像的信息大量集中在低频部分。

MATLAB代码如下：

image = imread('camera.png');
image=rgb2gray(image);
image=im2double(image);
F_image = fft2(image);

figure(1)
subplot(221)
imshow(image);
title('original image')
subplot(222)
imshow(abs(F_image))
title('magnitude of Frequency image')
subplot(223)
imshow(angle(F_image))
title('phase of Frequency image')
subplot(224)
imshow(fftshift(abs(F_image)))
title('central')

F_imageAfterCentral = fftshift(F_image);
figure(2)
subplot(311)
originalRecoverImage = ifft2(ifftshift(F_imageAfterCentral));
imshow(originalRecoverImage)
title('IFT of the original spectrogram')
% 将四边取0(即将中心化后的中心点取0)
subplot(312)
F_imageAfterCentral_m = F_imageAfterCentral;
F_imageAfterCentral_m(280:300,280:300) = 0;
imshow(ifft2(ifftshift(F_imageAfterCentral_m)))
title('setting the small central area(low frequency) to 0')
subplot(313)
F_imageAfterCentral_m1 = F_imageAfterCentral;
F_imageAfterCentral_m2 = F_imageAfterCentral;
F_imageAfterCentral_m1(280:300,280:300) = 0;
F_difference = F_imageAfterCentral_m2 - F_imageAfterCentral_m1;
imshow(ifft2(ifftshift(F_difference)))
title('setting all area to 0 except the small central area(low frequency)')