LintCode 722: Maximum Subarray VI (Trie, 异或经典难题)
722. Maximum Subarray VI
Given an array of integers. find the maximum XOR subarray value in given array.
What's the XOR: https://en.wikipedia.org/wiki/Exclusive_or
Example
Example 1
Input: [1, 2, 3, 4]
Output: 7
Explanation:
The subarray [3, 4] has maximum XOR value
Example 2
Input: [8, 1, 2, 12, 7, 6]
Output: 15
Explanation:
The subarray [1, 2, 12] has maximum XOR value
Example 3
Input: [4, 6]
Output: 6
Explanation:
The subarray [6] has maximum XOR value
Notice
Expected time complexity O(n).
Input test data (one parameter per line)How to understand a testcase?
解法1:Trie+XOR。
用Trie和异或的解法我感觉非常难,看答案也是看了很久才看明白。下面这两个链接讲得非常不错。
https://www.geeksforgeeks.org/find-the-maximum-subarray-xor-in-a-given-array/
https://lengerrong.blogspot.com/2017/11/maximum-subarray-vi.html
首先,我们感觉好像用XOR的话,就不能有presum这样的数组了,但是实际上是可以有的,因为XOR有下面的特性:
prexor(L,R) = prexor(1,R) ^ prexor(1,L-1), prexor(L,R) is XOR of subarray from L to R。所以我们可以建立类似的prexor数组,即prexor[i]=F(1, i)。
另外,为什么要用Trie呢?这样就可以节省时间了,可以在O(n)的时间内找出前面的数字的prexor。
以输入A[]= {8, 2, 1, 12}为例。为简便起见,假设A数组从1开始,假定prexor[0] = 0。易知prexor[1] = 8 (1010),prexor[2]= 10 (1010), prexor[3] = 11 (1011)。
每来一个A[i],我们将prexor[i]插入trie树中。下图是A[3]=1来后的情形。注意,每次插入A[i]后我们还要调用query()函数返回当前能找到的最大的那个XOR值。那么这个最大的XOR值怎么找呢?利用prexor(L,R) = prexor(1,R) ^ prexor(1,L-1)。我们已经知道prexor(1,R),那么,我们只要在trie树上找到之前能和prexor(1,R)异或出最大结果的那个prexor(1,L-1)即可。因为在trie树上已经存了所有prexor(1,i), i=1,...,R-1的值。我们的任务就是要在prexor[1,...,R-1]中找到一个最优的数prexor[X], 使得prexor(1,R)^prexor(1,X)最大,这里的X就是L-1,那么这个最大值就是题目所求的最大XOR subarray的值。
下图是A[4]=12来后的情形。prexor=7(0b0111)已经插入trie中,我们要在trie中找到一个最优的prexor[i],使得其与0b0111异或出来最大。注意prexor[i]的值都存在叶子节点中。我们可以看到找到的最优的prexor[i]是prexor[1]=8(0b1000),而这个最大值就是7 XOR 8 = 15 (0b1111), 因为X=1,这个subarray就是A[2..4],注意2=X+1。
怎么找最大的prexor[i]的关键在于query里面的算法:
// Find current bit in given prefix
bool val = pre_xor & (1 << i);
// Traverse Trie, first look for a
// prefix that has opposite bit
if (temp->arr[1 - val] != NULL)
temp = temp->arr[1 - val];
// If there is no prefix with opposite
// bit, then look for same bit.
else if (temp->arr[val] != NULL)
temp = temp->arr[val];
从高到低遍历bit,每次先找跟prexor的对应bit相反的bit,找不到才找相同的bit。为什么先找相反的bit呢?就是为了让XOR值最大嘛!
代码如下:
#define INT_SIZE 32
struct TrieNode
{
int value; // Only used in leaf nodes
TrieNode *arr[2];
};
// create a Trie node
TrieNode *newNode()
{
TrieNode *temp = new TrieNode;
temp->value = 0;
temp->arr[0] = temp->arr[1] = NULL;
return temp;
}
// Inserts pre_xor to trie with given root
void insert(TrieNode *root, int pre_xor)
{
TrieNode *temp = root;
// Start from the msb, insert all bits of
// pre_xor into Trie
for (int i = INT_SIZE - 1; i >= 0; i--)
{
// Find current bit in given prefix
bool val = pre_xor & (1 << i);
// Create a new node if needed
if (temp->arr[val] == NULL)
temp->arr[val] = newNode();
temp = temp->arr[val];
}
// Store value at leaf node
temp->value = pre_xor;
}
// Finds the maximum XOR ending with last number in
// prefix XOR 'pre_xor' and returns the XOR of this maximum
// with pre_xor which is maximum XOR ending with last element
// of pre_xor.
int query(TrieNode *root, int pre_xor)
{
TrieNode *temp = root;
for (int i = INT_SIZE-1; i >= 0; i--)
{
// Find current bit in given prefix
bool val = pre_xor & (1 << i);
// Traverse Trie, first look for a
// prefix that has opposite bit
if (temp->arr[1 - val] != NULL)
temp = temp->arr[1 - val];
// If there is no prefix with opposite
// bit, then look for same bit.
else if (temp->arr[val] != NULL)
temp = temp->arr[val];
}
return pre_xor ^ (temp->value);
}
class Solution {
public:
/**
* @param nums: the array
* @return: the max xor sum of the subarray in a given array
*/
int maxXorSubarray(vector<int> &nums) {
TrieNode *root = newNode();
insert(root, 0);
int n = nums.size();
// Initialize answer and xor of current prefix
int result = INT_MIN, pre_xor = 0;
// Traverse all input array element
for (int i = 0; i < n; i++)
{
// update current prefix xor and insert it into Trie
pre_xor = pre_xor ^ nums[i];
insert(root, pre_xor);
// Query for current prefix xor in Trie and update
// result if required
result = max(result, query(root, pre_xor));
}
return result;
}
};