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2020 CCPC Wannafly Winter Camp Day1 Div.1&2(A题 期望逆序对)(找规律)

程序员文章站 2022-07-15 16:10:05
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2020 CCPC Wannafly Winter Camp Day1 Div.1&2(A题 期望逆序对)(找规律)

时间限制:C/C++ 1秒,其他语言2秒
空间限制:C/C++ 262144K,其他语言524288K
64bit IO Format: %lld

题目描述

nn 个独立的随机变量,其中 xix_i 的值是一个从 [li,ri][l​_i ,r_i] 中随机选取的整数,即对于 [li,ri][l​_i ,r_i] 中的任何一个整数 jjxi=jx_i= j 的概率都是 (rili+1)1(r_i-l_i+1)^{-1} 现在你需要给出一个长度为 n{n} 的排列 p{p},那么可以得到一个长度为 n{n} 的随机变量序列 。你的目标是让结果序列的逆序对个数的期望尽可能少。
求逆序对个数的期望的最小值。

输入描述:

第一行输入一个整数 n(1n5×103){n}(1\leq n \leq 5\times 10^3) 接下来 nn 行每行两个整数 li,ri(1liri109)l_i,r_i (1\leq l_i \leq r_i\leq 10^9)

输出描述:

输出一行一个整数,表示答案对 998244353998244353 取模后的值。假设答案的最简分数表示是 xy\frac{x}{y} ,你需要输出一个整数 kk 满足 k×yxmod998244353k \times y \equiv x \bmod 998244353

示例1

输入

3
1 2
2 3
1 3

输出

332748118

题解

官方题解为:
2020 CCPC Wannafly Winter Camp Day1 Div.1&2(A题 期望逆序对)(找规律)
但我回来反复琢磨后发现一处问题:

2020 CCPC Wannafly Winter Camp Day1 Div.1&2(A题 期望逆序对)(找规律)
这个式子在 r1>l2r_1 > l_2 的时候处理的不太对,不过题解代码倒是没什么问题。

假如有区间 11[1,3][1,3] 区间 22[2,4][2,4] ,那么枚举区间 11 的元素时,当 ii22 的时候 此时若想让区间 11 的元素大于区间 22 的元素,那么无论区间 22 取哪个,都是不可能的,而官方题解的式子里可以看出区间 22 里有 11 中取法(max(0,min(2,4)2+1)max(0,min(2,4)-2+1)11 ),这显然是不符合的;当 ii33 的时候,此时区间 22 里只有一种取法,就是取 22 ,但是官方题解的式子里得出了 22 种取法(max(0,min(3,4)2+1)max(0,min(3,4)-2+1)22 ),这显然也是不符合的。

也就是说当 r1>l2r_1 > l_2 的时候,每次枚举都会多加 11

修改后的式子:
(r1l1+1)1(r2l2+1)1i=l1r1max(0,min(i,r2+1)l2)(r_1-l_1+1)^{-1}(r_2-l_2+1)^{-1}\sum_{i=l_1}^{r_1}{max(0,min(i,r_2+1)-l_2)}

ii 是否大于 r2r_2 进行分类讨论:

rr 等于 min(r1,r2)min(r_1,r_2) ,把区间 11r2r_2 为边界拆成 [l1,r][l_1,r],和 (r,r1](r,r_1] 两部分(如果 rr 等于 r1r_1 ,那么第二部分为空集),计算第一部分对应的取值情况种类应该有 (ll2+rl2)(rl+1)/2(l-l_2+r-l_2)(r-l+1)/2(等差数列求和,见于代码第33行),计算第二部分对应的取值情况种类应该有 (r1r)(r2l2+1)(r_1-r)(r_2-l_2+1)见于代码第34行)。

代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
struct atom {
	int l, r;
	void scan() {
		scanf("%d%d", &l, &r);
	}
};
const int N = 5100;
const int mo = 998244353;
int operator < (atom k1, atom k2) {
	return k1.l + k1.r < k2.l + k2.r;
}
int n, inv[N];
atom A[N];
int quick(int k1, int k2) {
	int k3 = 1;
	while (k2) {
		if (k2 & 1) k3 = 1ll * k3*k1%mo;
		k2 >>= 1; k1 = 1ll * k1*k1%mo;
	}
	return k3;
}
int calc(atom k1, atom k2) {
	int l = max(k1.l, k2.l);
	if (l > k1.r) return 0;
	int r = min(k1.r, k2.r);
	int ans = 1ll * (l - k2.l + r - k2.l)*(r - l + 1) / 2 % mo;
	ans = (ans + 1ll * (k1.r - r)*(k2.r - k2.l + 1)) % mo;
	return ans;
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) A[i].scan();
	sort(A + 1, A + n + 1);
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) inv[i] = quick(A[i].r - A[i].l + 1, mo - 2);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = i + 1; j <= n; j++)
			ans = (ans + 1ll * inv[i] * inv[j] % mo*calc(A[i], A[j])) % mo;
	cout << ans << endl;
	return 0;
}
相关标签: 找规律