AcWing 277. 饼干 (特殊的集合划分方式）

AcWing 277. 饼干

题目

有 m 块饼干分给 n 个人，要求每人至少分一块。同时每一个人有一个怨气值 a[i]，假设有 g[i] 个人比他分到的饼干多，那么这个人产生的怨气就是 a[i] * g[i]。问最后怎么分配饼干使得怨气值总和最小，输出任意具体方案？

分析

所有分配方案的集合太大了。考虑缩小最优解集合。

首先肯定要分配的尽可能一样，这样就不会产生怨气。如果不可避免的产生怨气，那么怨气值高的分配的饼干数也要高。

那么集合变成了：“g[i] 大的分配的饼干多” 的方案的集合。可以在这个集合上面做 dp。

首先将小朋友按 g[i] 从大到小排序。且分配的饼干数量非严格递减。

①：状态表示

1. 集合：$dp[i][j]$dp[i][j] 表示给前 $i$i 个小朋友分配 $j$j 个饼干的所有方案集合。
2. 属性：方案怨气值的最小值。

②：状态转移（集合划分）

因为保证了分配数量是递减的，但最少只能为 1。因此对于当前集合 $dp[i][j]$dp[i][j] ，通过枚举最后有几个小朋友分配到 1 个饼干来划分 （经验：将不变的和变化的分开）：

1. 0 个：$dp[i][j] = dp[i][j-i]$dp[i][j]=dp[i][j−i] // 当没有为 1 的时，等价于每个小朋友都 - 1，的状态。
2. k 个 (k <= i)：$dp[i][j] = dp[i-k][j-k] + (i - k) * (k 个小朋友怨气值和）$dp[i][j]=dp[i−k][j−k]+(i−k)∗(k个小朋友怨气值和） 怨气值和可以通过前缀和预处理下。

最后还有一个问题：题目要输出最后分配的具体的方案数。记录每个状态都是怎么转移过来的，然后顺着最后得到的最终最优解状态往前推。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 30 + 5;
const int M = 5e3 + 5;

int n, m;
pii a[N];
int s[N], dp[N][M], ans[N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i].first;
        a[i].second = i;
    }
    
    sort(a + 1, a + 1 + n, greater<pii>());
    for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + a[i].first;
    memset(dp, INF, sizeof(dp));
    dp[0][0] = 0;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (j < i) continue;    // 非法
            dp[i][j] = dp[i][j - i];
            for (int k = 1; k <= i && k <= j; k++) 
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - k][j - k] + (i - k) * (s[i] - s[i - k]));
        }
        
    cout << dp[n][m] << "\n";
    int i = n, j = m, h = 0;	// 沿原路返回，注意有两种路径
    while (i && j) {
        if (j >= i && dp[i][j] == dp[i][j - i]) j -= i, h++;
        else {
            for (int k = 1; k <= i && k <= j; k++) {
                if (dp[i][j] == dp[i - k][j - k] + (i - k) * (s[i] - s[i - k])){
                    for (int u = i; u > i - k; u--) 
                        ans[a[u].second] = 1 + h;
                    i -= k, j -= k;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << ans[i] << " ";
    puts("");
    return 0;
}