数据分析之特征值与奇异值

特征值和特征向量

对于n阶方阵A，如果存在数a和非零n维列向量x，使得Ax=ax，则称a是矩阵A的一个特征值，x是矩阵A属于特征值a的特征向量。

#已知n阶方阵A， 求特征值与特征数组
# eigvals: 特征值数组
# eigvecs: 特征向量数组 
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)
#已知特征值与特征向量，求方阵
S = np.mat(eigvecs) * np.mat(np.diag(eigvals)) * np.mat(eigvecs.I) 

import numpy as np
import scipy.misc as sm
import matplotlib.pyplot as mp

# 读取图片文件，获取数组,imread方法在scipy的1.2.0后已经不在支持，可以采用imageio来获取数据
img_array = sm.imread("图片文件路径", True)
print(img_array)

# 得到特征值与特征向量
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(img_array)
print(eigvals.dtype)
print(eigvecs)

# 　抹掉特征值与特征向量
eigvals[200:] = 0
print(eigvals)

img = np.mat(eigvecs) * np.mat(np.diag(eigvals)) * np.mat(eigvecs).I
mp.subplot(121)
mp.imshow(img_array)

mp.subplot(122)
mp.imshow(img.real, cmap="gray")
mp.tight_layout()
mp.show()

奇异值分解（SVD）

有一个矩阵M，可以分解为3个矩阵U、S、V，使得U x S x V等于M。U与V都是正交矩阵（乘以自身的转置矩阵结果为单位矩阵）。那么S矩阵主对角线上的元素称为矩阵M的奇异值，其它元素均为0。

import numpy as np
import scipy.misc as sm
import matplotlib.pyplot as mp


original = sm.imread('图片文件路径', True)
#提取奇异值  sv 	
U, sv, V = np.linalg.svd(original)
print(U.shape, sv.shape, V.shape)
sv[50:] = 0
original2 = np.mat(U) * np.mat(np.diag(sv)) * np.mat(V)
mp.figure("Picture")
mp.subplot(121)
mp.xticks([])
mp.yticks([])
mp.imshow(original, cmap='gray')

mp.subplot(122)
mp.xticks([])
mp.yticks([])
mp.imshow(original2, cmap='gray')
mp.tight_layout()