蓝桥杯 输出二进制表示

蓝桥杯 输出二进制表示

问题描述
　　输入[-128，127]内的整数，输出其二进制表示。提示，可使用按位与&
输入格式
　　例：7
输出格式
　　例：00000111

操作
对于位于区间 [0,127] 的整数，直接求其二进制数，对于位于区间 [128,0) 的整数，负数需用他的二进制补码表示，先求其反码，然后在反码末尾加1 (在原码基础上，每位取反，末尾加一)。但这样的操作有点复杂，但是我们会发现，该负数加上128，就和正数的二进制一样，将其符号位变为1。

原码、反码、补码
计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?
将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:

1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4
2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4
3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4
   2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.

同余的概念

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作 a ≡ b (mod m)
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
举例说明:
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4, 16, 28关于模 12 同余.

负数取模

正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?
下面是关于mod运算的数学定义:

上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:
x mod y = x - y L x / y J
上面公式的意思是:
x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.
以 -3 mod 2 举例:
-3 mod 2
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
所以:
(-2) mod 12 = 12-2=10
再根据上述时钟的问题可以得到
10 mod 12 = 10
所以 -2 和 10 是同余的。

在二进制中
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补
如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:
[0111 1111]原 = 127
其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了模的值:
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].
但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]

#include<stdio.h>

void Binary(int n);

int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	Binary(n);
	return 0;
}

void Binary(int n)
{
	int i,j,k;
	int a[8];
	if(n>=0)     // if(n>=0 && n<=127)
	{
		for(i=7;i>=0;i--)
		{
			a[i]=n%2;
			n=n/2;
		}
	}
	else        //else if(n>=-128 && n<0)
	{
		n=n+128;
		for(j=7;j>=0;j--)
		{
			a[j]=(n%2);
			n=n/2;
		}
		a[0]=1;    // 最高位为符号位1，符号位正数为0，负数为1
	}
	for(k=0;k<8;k++)
	{
		printf("%d",a[k]);
	}
}

若代码有错误的地方或是其他代码，请各位指教。