282. Expression Add Operators

题目理解

输入：一个字符串num，一个int target。输入num只包含数字。
规则：可以给num中包含的数字之间任务添加二目运算符：+ - *,使得表达式的值等于target。
输出：所有可能的符合条件的表达式。

示例1：num=“123”, target=6
输出：[“1+2+3”, “123”]

示例2：num=“232”, target=8
输出：[“23+2", "2+32”]

示例3：num = “105”, target = 5
输出: [“1*0+5”,“10-5”]

分析

从示例中可以看到我们可以在每一个数字之间加运算符，而数字可以是一位数字1、2、3，也可以是两位、三位数字：12、32、123。那么我们可以把1和2连在一起认为是第四种操作。

这道题目看了官方的解答和花花酱的视频，依然云里雾里。一直到看了windliang的解法终于想明白了 。

解题思路是回溯法。每次添加一个操作符和一个数字。以num=123为例。下图是部分递归树。每条路径可以获得一个表达式。

第一步：dfs获得所有表达式

第一步我们使用dfs遍历打印出所有可能的表达式。注意第一个数字比较特别，只加数字，不加操作符。

class Solution {
    private String num;
    private int target;
    public List<String> addOperators(String num, int target) {
        this.num = num;
        this.target  = target;
        dfs(0,"");
        return null;
    }
    
    private void dfs(int start,String expr){
        if(start == num.length()){
            System.out.println(expr);
            return;
        }
        for(int  i = start ;i<num.length();i++){
            String t = num.substring(start,i+1);
            if(start == 0){
                dfs(i+1,t);
            }else{
                dfs(i+1,expr+"+"+t);
                dfs(i+1,expr+"-"+t);
                dfs(i+1,expr+"*"+t);
            }
            
        }
    }
}

使用num='123’做测试，得到输出1+2+3 1+2-3 1+2*3 1-2+3 1-2-3 1-2*3 1*2+3 1*2-3 1*2*3 1+23 1-23 1*23 12+3 12-3 12*3 123

第二步：计算结果

有了表达式，可以在每次表达式变化的时候计算表达式的结果。运算包括加法、减法、乘法。因为乘法优先级高，最后再处理。我们先看看怎么计算加减法。

先计算加减法

我们在上面递归树的每个节点加一个结果dfs(n,expr,value)。每个节点在计算表达式的值的时候，需要拿上一个表达式的结果与当前数字n做操作。

例如计算1+2+3

表达式	上一步value	value
1		1
1+2	1	1+2=3
1+2+3	3	3+3=6

例如计算1-2+3

表达式	上一步value	value
1		1
1-2	1	1-2=-1
1-2+3	-1	-1+3=2

在计算加减法的时候，只需要保存上一步的表达式的值即可。

class Solution {
    private String num;
    private int target;
    private List<String> result;
    public List<String> addOperators(String num, int target) {
        this.num = num;
        this.target  = target;
        result = new ArrayList<String>();
        dfs(0,"",0);
        return result;
    }
    
    private void dfs(int start,String expr,long value){
        if(start == num.length()){
            System.out.println(expr+" "+value);
            if(value == target){
            }
            return;
        }
        for(int  i = start ;i<num.length();i++){
            String t = num.substring(start,i+1);
         
            long n = Long.parseLong(t);
            if(start == 0){
                dfs(i+1,t,n);
            }else{
                dfs(i+1,expr+"+"+t,value+n);
                dfs(i+1,expr+"-"+t,value-n);
                dfs(i+1,expr+"*"+t,value*n);
            }
            
        }
    }
}

查看打印结果：1+2+3=6 1+2-3=0 1+2*3=9能够发现加法减法是正确的，乘法计算错了。

计算乘法

以1+2*3为例。

表达式	上一步value	value
1+2	1	1+2=3
1+2*3	3	3*3=9

这是计算过程。我们不应该先算加法。我们需要记录下上一步的操作数preOperand，先在结果中减去preOperand。然后preOperand在乘以当前数字。即：val-preOperand + preOperand*n=3-2+2x3=7。计算结果正确。

如果上一步是减法，和上面的过程类似。例如1-2*3。preOperand = 3，val = -1。计算：-1-(-2)+(-2)*3=-5。

如果上一步是减法。例如543。preOperand = 5x4=20，val = 20。计算：20-20+20*3 = 60。也就是说上一步乘法的操作数preOperand = 5x4=20。这样公式就统一了。

至此解答完毕。

class Solution {
    private String num;
    private int target;
    private List<String> result;
    public List<String> addOperators(String num, int target) {
        this.num = num;
        this.target  = target;
        result = new ArrayList<String>();
        dfs(0,"",0,0);
        return result;
    }
    
    private void dfs(int start,String expr,long value,long preOperand){
        if(start == num.length()){
            //System.out.println(expr+" "+value);
            if(value == target){
                result.add(expr);
            }
            return;
        }
        for(int  i = start ;i<num.length();i++){
            String t = num.substring(start,i+1);
            if(t.charAt(0)=='0' && i>start) break;
            long n = Long.parseLong(t);
            if(n > Integer.MAX_VALUE) break;
            if(start == 0){
                dfs(i+1,t,n,n);
            }else{
                dfs(i+1,expr+"+"+t,value+n,n);
                dfs(i+1,expr+"-"+t,value-n,-n);
                dfs(i+1,expr+"*"+t,value-preOperand+preOperand*n,preOperand*n);
            }
            
        }
    }
}

时间复杂度

在字符串的两个数字之间有4种操作。n个字符串有n-1个空格，所以时间复杂度是$O(4^{n-1})$O(4n−1)。

进一步优化

在计算 表达式expr，每次有字符串相加操作。可以使用StringBuilder。可以加快速度。链接。