六轴机器人轨迹规划之三次多项式轨迹插值

程序员文章站 2022-07-14 22:12:24

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1.轨迹规划的定义

轨迹规划(trajectory planning)是运动规划(motion planning)研究的主要内容。运动规划指的是运动插补，在起始点和终止点之间插入中间点序列，实现沿着轨迹的平稳运动。运动控制包含路径规划(path planning)和轨迹规划，路径规划是规划位置，在起终点之间经过的路径点，轨迹规划是规划时间，将路径点与时间相对应。
对于我们的六轴机器人而言轨迹规划可以分为：关节空间轨迹规划和笛卡尔空间轨迹规划。关节空间轨迹规划是把机器人的关节变量变换成跟时间的函数，然后对角速度和角加速度进行约束。笛卡尔空间轨迹规划是把机器人末端在笛卡尔空间的位移、速度和加速度变换成跟时间的函数关系。
2.数学基础
三次多项式插值（适用于起点和终点速度为零的情况，约束关节在起点和终点的角度值，规定轨迹两端点位置角速度为定值）。
设关节角满足下式

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ θ (t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 θ ˙ (t) = a 1 + 2 a 2 t + 3 a 3 t 2 θ ¨ (t) = 2 a 2 + 6 a 3 t {θ(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3θ˙(t)=a1+2a2t+3a3t2θ¨(t)=2a2+6a3t

将相邻两个点看作一小段轨迹的起点和终点分别用θ0θ0和θfθf表示，约束起始速度为v0v0，终止速度为vfvf

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ θ (t 0) = θ 0 θ (t f) = θ f θ ˙ (t 0) = v 0 θ ˙ (t f) = v f {θ(t0)=θ0θ(tf)=θfθ˙(t0)=v0θ˙(tf)=vf

将约束条件代入函数，可以求得系数（为简便计算，设t0=0t0=0）

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a 0 = θ 0 a 1 = v 0 a 2 = 3 t 2 f (θ f - θ 0) - 1 t f (2 v 0 + v f) a 3 = 2 t 3 f (θ 0 - θ f) + 1 t 2 f (v 0 + v f) {a0=θ0a1=v0a2=3tf2(θf-θ0)-1tf(2v0+vf)a3=2tf3(θ0-θf)+1tf2(v0+vf)

三次多项式规划轨迹如下

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ θ (t) = θ 0 + v 0 t + [3 t 2 f (θ f - θ 0) - 1 t f (2 v 0 + v f)] t 2 + [2 t 3 f (θ 0 - θ f) + 1 t 2 f (v 0 + v f)] t 3 θ ˙ (t) = v 0 + 2 [3 t 2 f (θ f - θ 0) - 1 t f (2 v 0 + v f)] t + 3 [2 t 3 f (θ 0 - θ f) + 1 t 2 f (v 0 + v f)] t 2 θ ¨ (t) = 2 [3 t 2 f (θ f - θ 0) - 1 t f (2 v 0 + v f)] + 6 [2 t 3 f (θ 0 - θ f) + 1 t 2 f (v 0 + v f)] t {θ(t)=θ0+v0t+[3tf2(θf-θ0)-1tf(2v0+vf)]t2+[2tf3(θ0-θf)+1tf2(v0+vf)]t3θ˙(t)=v0+2[3tf2(θf-θ0)-1tf(2v0+vf)]t+3[2tf3(θ0-θf)+1tf2(v0+vf)]t2θ¨(t)=2[3tf2(θf-θ0)-1tf(2v0+vf)]+6[2tf3(θ0-θf)+1tf2(v0+vf)]t

当速度为零时适用于一段轨迹的起终点，不为零时适用于一段轨迹的经过点。
3.matlab代码实现

序号	位置	速度	时间
1	0	0	0
2	100	0	3

clear;
clc;
q0=0;
q1=100; %指定起止位置
t0=0;
t1=3;%指定起止时间
v0=0;
v1=0;%指定起止速度
a0=q0;
a1=v0;
a2=(3/(t1)^2)*(q1-q0)-(1/t1)*(2*v0+v1);
a3=(2/(t1)^3)*(q0-q1)+(1/t1^2)*(v0+v1);%计算三次多项式系数
t=t0:0.01:t1;
q=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;%三次多项式插值的位置
v=a1+2*a2*t+3*a3*t.^2;%三次多项式插值的速度
a=2*a2+6*a3*t;%三次多项式插值的加速度
subplot(3,1,1),plot(t,q),xlabel('t'),ylabel('position');grid on;
subplot(3,1,2),plot(t,v),xlabel('t'),ylabel('velocity');grid on;
subplot(3,1,3),plot(t,a),xlabel('t'),ylabel('accelerate');grid on;

下图为插值结果
六轴机器人轨迹规划之三次多项式轨迹插值
4.含经过点的插值

序号	位置	速度	时间
1	0	0	0
2	50	10	3
3	150	20	6
4	100	-15	12
5	0	0	14

clear;
clc;
q_array=[0,50,150,100,0];%指定起止位置
t_array=[0,2,4,8,10];%指定起止时间
v_array=[0,10,20,-15,0];%指定起止速度
t=[t_array(1)];q=[q_array(1)];v=[v_array(1)];a=[0];%初始状态
for i=1:1:length(q_array)-1;%每一段规划的时间
     a0=q_array(i);
     a1=v_array(i);
     a2=(3/(t_array(i+1)-t_array(i))^2)*(q_array(i+1)-q_array(i))-(1/(t_array(i+1)-t_array(i)))*(2*v_array(i)+v_array(i+1));
     a3=(2/(t_array(i+1)-t_array(i))^3)*(q_array(i)-q_array(i+1))+(1/(t_array(i+1)-t_array(i))^2)*(v_array(i)+v_array(i+1));%计算三次多项式系数 
     ti=t_array(i)+0.001:0.001:t_array(i+1);
     qi=a0+a1*(ti-t_array(i))+a2*(ti-t_array(i)).^2+a3*(ti-t_array(i)).^3;
     vi=a1+2*a2*(ti-t_array(i))+3*a3*(ti-t_array(i)).^2;
     ai=2*a2+6*a3*(ti-t_array(i));
     t=[t,ti];q=[q,qi];v=[v,vi];a=[a,ai];
end
subplot(3,1,1),plot(t,q,'r'),xlabel('t'),ylabel('position');grid on;
subplot(3,1,2),plot(t,v,'b'),xlabel('t'),ylabel('velocity');grid on;
subplot(3,1,3),plot(t,a,'g'),xlabel('t'),ylabel('accelerate');grid on;

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