九章算法 | 腾讯面试题：打劫房屋

假设你是一个专业的窃贼，准备沿着一条街打劫房屋。每个房子都存放着特定金额的钱。你面临的唯一约束条件是：相邻的房子装着相互联系的防盗系统，且 当相邻的两个房子同一天被打劫时，该系统会自动报警。

给定一个非负整数列表，表示每个房子中存放的钱， 算一算，如果今晚去打劫，在不触动报警装置的情况下, 你最多可以得到多少钱 。

在线评测地址: LintCode 领扣

样例 1:

        输入: [3, 8, 4]
输出: 8
解释: 仅仅打劫第二个房子.
      

样例 2:

        输入: [5, 2, 1, 3] 
输出: 8
解释: 抢第一个和最后一个房子
      

【题解】

解题思路

由抢房屋的性质可以看出，抢前i个房屋能得到的最大值，与后面如何抢的方案无关，只与前i - 1个房屋的最优方案有关。这满足了动态规划的无后效性和最优子结构。同时，由于题目不能抢相邻房屋，那么如果抢了第i个房屋，就不能抢第i - 1个房屋，可以得出前i个的最优方案也与前i - 2个的最优方案有关。

代码思路

可以设dp(i, 0)为如果不抢第i个房屋，前i个房屋的最优方案为多少；设dp(i, 1)为如果抢第i个房屋，前i个房屋的最优方案为多少。可以得出以下的状态转移方程式：

复杂度分析

设房屋数量为N。

时间复杂度

• 扫描一遍数组，每次O(1)时间动态转移，复杂度为O(N)。

空间复杂度

• dp数组的规模为N * 2，空间复杂度为O(N)。
• 在空间上可以有一个小优化，对于计算第i个房屋时，有关的数据只有(i - 1) ~ i三组数据，可以每次只记录这两组数据，并在转移后丢弃掉最早的，加上新的数据，进入下一个循环继续计算。空间复杂度为O(1)。

        public class Solution {
    /**
     * @param A: An array of non-negative integers
     * @return: The maximum amount of money you can rob tonight
     */
    public long houseRobber(int[] A) {
        int n = A.length;
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        long[][] dp = new long[n][2];
        
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = A[0];
        
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            // 如果不抢第 i 个，取前 i - 1 个位置 dp 较大值
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]);
            // 如果抢第 i 个，前一个不抢，考虑从前 i - 2 个位置的dp值转移
            dp[i][1] = A[i] + dp[i - 1][0];
        }
        
        long result = Math.max(dp[n - 1][0], dp[n - 1][1]);
        return result;
    }
}
      

更多题解参见：九章算法