主成分分析的可视化展示
一、主成分分析简介
在对于一件事物的研究过程中，为了准确的反映事物间的关系，往往需要收集多维指标，以保证尽可能全面地收集信息。然而多维指标往往会提高分析人员的分析难度，并且相似变量也造成了信息重叠，不利于准确提炼数据关系的本质。
主成分分析法(PCA)就是一种常见的降维算法，它能够降低数据维度，减少高维数据分析难度。主成分分析法能够在实现降维的同时，能够尽量的保证信息损失。因此在很多分析工作中，可以通过提炼主成分的方式，仅依靠少数几个线性组合代替原先的数据集，既提高了数据分析效率，又避免了数据信息的过多损失。
二、R包介绍
FactoMineR包是主要用于多元统计分析的R包，它能轻松实现主成分分析、因子分析、聚类分析等多元统计分析方法，并提供对分析结果做可视化的分析工具。factoextra包也是多元统计分析包的主要组件，他主要用于提取多元统计分析结果，并进行可视化探索。本文将基于FactoMineR包和factoextra包进行主成分分析。
FactoMineR包的主要函数：
- PCA： 用于主成分分析的方法
- HCPC：层次聚类分析法
- MCA：多重对应分析
- MFA：多因素分析
- FAMD: 混合数据因子分析
- CA : 对应分析
factoextra包的主要函数：
- fviz_pca：可视化PCA分析
- fviz_mca：可视化多重对应分析
- fviz_hmfa_var：可视化多因素分析
- eclust： 可视化聚类分析结果
三、数据简介
使用Datasets包里的mtcars数据集作为主成分分析的测试数据。mtcars数据集记录了32种不同品牌的轿车的的11个属性，分别为：
- mpg: 数值型，车辆油耗，单位是每加仑英里数
- cyl: 数值型，气缸数
- disp: 数值型，发动机排量
- hp: 数值型，马力数
- drat: 数值型，后桥速比
- wt: 数值型，车身重量，单位为千磅
- qsec: 数值型，四分之一英里加速时间
- vs: 数值型，V/S
- am: 数值型，0=自动挡,1=手动挡
- gear: 数值型，前进档位数
- carb: 数值型，化油器数量
四、主成分分析可视化
本文采用FactoMineR包的PCA方法进行主成分分析，并以factoextra包进行分析及可视化。
library(FactoMineR)
library(factoextra)
library(datasets)
res.pca <- PCA(mtcars, graph = FALSE,scale.unit=T)
对于主成分分析，首先需要判断选择多少个主成分合适，一般可以选择特征值大于1的主成分。可以通过factoextra包的get_eigenvalue函数来输出特征值，具体见下图。
eigenvalue为特征值，variance.percent为主成分的方差贡献率，cumulative.variance.percent为累积防擦好贡献率。除了通过特征值设定阈值外，还可以通过特征值的累积贡献率来选择主成分数量。
1.碎石图
通过各主成分的方差贡献率，可以绘制如下这张碎石头图：
从碎石图上看，前三个主成分的累积贡献率接近90%，因此可以考虑选择前三个主成分输出。
除了特征值外，还可以通过get_pca_var函数来提取主成分分析结果中的其它变量。
var <- get_pca_var(res.pca)
2.变量相关图
通过fviz_pca_var函数，可以展示变量与主成分间的相关关系。我们以cos2这个指标为例，cos2反映了各个主成分中各个变量的代表性，一个变量的所有主成分cos2值加起来等于1。对于主成分而言，某个变量的cos2越接近1，则说明变量对该主成分的代表性越高；cos2越接近0，则说明变量对该主成分的代表性越差。我们以第一、第二两类主成分为例：
fviz_pca_var(res.pca, col.var = "cos2",
gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07")
)
上面这张图为变量相关图，反映了变量与主成分之间的相关关系，图上的变量越接近圆周，则表示该变量对主成分的代表性越强；越接近圆心，则表示该变量对主成分的代表性越差。各变量到各个维度的距离则表现各变量对该主成分的代表性，即cos2。
从图上看，mpg、cyl、disp、wt对第一主成分具有较高的代表性，但是对于第二主成分则不具有显著的代表性。
2.变量贡献图
fviz_contrib()则展示了各变量对主成分的贡献图，以第一、第二、主成分为例：
红线表示各变量的平均贡献率。
2.主成分样本散点图
对于给定的样本点，可以对样本点的主成分得分与主成分进行相关关系展示，以此来区分个样本点的区别与相似。
如果按照汽车品牌的国家分类的话，还可以在途中对样本点进行分组：
从图上可以看出来，不同类比的汽车被聚集在了一起。右上角Maserati Bora, Ferrari Dino and Ford Pantera L三类汽车被聚集在了一起，因为他们都是跑车系列；Mazda RX4和Mazda RX4 Wag聚集在了一起，因为他们都是Mazda系列；从品牌的国家分类看，美国系列的汽车均处于图片的右下角，具有明显的辨识度。
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