圆的扫描转换-中点Bresenham算法

圆的扫描转换是在屏幕像素点阵中确定最佳逼近于理想圆的像素点集的过程。圆的绘制可以使用简单方程画圆算法或极坐标画圆算法，但这些算法涉及开方运算或三角运算，效率很低。
仅包含加减运算的顺时针绘制1/8圆的中点Bresenham算法，根据对称性可以绘制整圆 。

默认的圆是圆心位于坐标系原点，半径为R的圆。
屏幕设备坐标系的原点位于左上角，绘制结果为1/4圆，需要进行圆心平移或使用自定义坐系可以绘制整圆。圆是椭圆的特例，使用椭圆中点Bresenham算法也可绘制。

算法原理

圆心在原点、半径为R的圆方程的隐函数表达式为：F(x,y)=x2+y2−R2=0$F(x,y)=x^2+y^2-R^2=0$
圆将平面划分成三个区域：对于圆上的点，F(x，y)＝0；对于圆外的点，F（x，y）＞0；对于圆内的点，F（x，y）＜0。
根据圆的对称性，可以用四条对称轴x＝0，y＝0，x＝y，x＝－y将圆分成8等份。只要绘制出第一象限内的1/8圆弧，根据对称性就可绘制出整圆，这称为八分法画圆算法。
假定第一象限内的任意点为P(x,y)，可以顺时针确定另外7个点：P(y,x)，P(y,-x)，P(x,-y)，P(-x,-y)，P(-y,-x)，P(-y, x)，P(-x,y)。

中点Bresenham算法要从(0,R) 顺时针确定最佳逼近于该段圆弧的像素点集。此段圆弧的斜率k处处满足|k|＜1，即|Δx|＞|Δy|，所以x方向为主位移方向，因此中点Bresenham算法的原理简化如下：x方向上每次加1，y方向上减不减1取决于中点误差项的值。
假定圆上当前点是Pi(xi,yi)$P_i(x_i,y_i)$，下一像素只能在Pu(xi+1,yi)$P_u(x_i+1,y_i)$和Pd(xi+1,yi−1)$P_d(x_i+1,y_i-1)$中选取。Pu$P_u$和Pd$P_d$的中点为M(xi+1,yi−0.5)$M(x_i+1,y_i-0.5)$显然，若M点在理想圆弧的下方，则Pu$P_u$点离圆弧近，选取Pu$P_u$；否则应选取Pd$P_d$。

构造中点误差项

从P(xi，yi$P(x_i，y_i$）开始，为了进行下一像素点的选取，需将Pu$P_u$和Pd$P_d$的中点M(xi+1,yi−0.5)$M(x_i+1,y_i-0.5)$代入隐函数，构造中点误差项：
d=F(xi+1,yi−0.5)=(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2$d=F(x_i+1,y_i-0.5)=(x_i+1{)}^2+(y_i-0.5{)}^2-R^2$
当di<0$d_i<0$时，中点M在圆弧内，下一像素点应选取Pu$P_u$，即y方向上不退步；当di>0$d_i>0$时，中点M在圆弧外，下一像素点应选取Pd$P_d$，即y方向上退一步；当di＝0$d_i＝0$时，中点M在圆弧上，Pu、Pd$P_u、P_d$和圆弧的距离相等，选取Pu$P_u$或Pd$P_d$均可，约定取Pd$P_d$。
因此，

yi+1={yi,yi−1,d<0d≥0$$y_{i+1}=\{\begin{array}{ll}{y}_i,& d<0\\ y_i-1,& d\ge 0\end{array}$$

中点误差项的递推公式

现在如果考虑主位移方向再走一步，应该选择哪个中点代入中点误差项以决定下一步应该选取的像素，分两种情况讨论。

1. 当di<0时，下一步的中点坐标为M(xi+2，yi−0.5)，下一步中点误差项为$当d_i<0时，下一步的中点坐标为M(x_i+2，y_i-0.5)，下一步中点误差项为$
   di+1=F(xi+2,yi−0.5)=(xi+2)2+(yi−0.5)2−R2$d_{i+1}=F(x_i+2,y_i-0.5)=(x_i+2{)}^2+(y_i-0.5{)}^2-R^2$
   =(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2+2xi+3$=(x_i+1{)}^2+(y_i-0.5{)}^2-R^2+2x_i+3$
   =di+2xi+3$=d_i+2x_i+3$
2. 当di≥0时，下一步的中点坐标为M(xi+2，yi−1.5)，下一步中点误差项为$当d_i\ge 0时，下一步的中点坐标为M(x_i+2，y_i-1.5)，下一步中点误差项为$
   di+1=F(xi+2,yi−1.5)=(xi+2)2+(yi−1.5)2−R2$d_{i+1}=F(x_i+2,y_i-1.5)=(x_i+2{)}^2+(y_i-1.5{)}^2-R^2$
   =(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2+2xi+3+(−2yi+2)$=(x_i+1{)}^2+(y_i-0.5{)}^2-R^2+2x_i+3+(-2y_i+2)$
   =di+2(xi−yi)+5$=d_i+2(x_i-y_i)+5$

中点误差项的初始值

圆的起点为P0（0，R）$P_0（0，R）$，x为主位移方向。因此，第一个中点是（1，R-0.5），对应的di$d_i$的初始值为：
d0=F(1,R−0.5)=1+(R−0.5)2−R2=1.25−R$d_0=F(1,R-0.5)=1+(R-0.5{)}^2-R^2=1.25-R$

代码

double x,y,d;    
d=1.25-R;x=0;y=R;
for(x=0;x<=y;x++)
{
    CirclePoint(x,y,pDC);//调用八分法画圆子函数
    if (d<0)
        d+=2*x+3;
    else
    {
        d+=2*(x-y)+5;
        y--;
    } 
 }