luogu P5142 区间方差（线段树、乘法逆元）

luogu P5142 区间方差

本题要求维护模区间方差，很明显是一道数据结构题。

我们化简方差公式：

而平均数等于

可以发现，我们只需要维护序列的区间和和区间平方和，就可以维护平均数和方差。

区间和和区间平方和都满足结合律，因此可以用线段树维护。

题目要求分数取模， 所以我们使用乘法逆元即可。
最终答案为
$\frac {psum - sum^2}{n}\%mod$npsum−sum2​%mod

$=(psum*n^{mod-2}\%mod+(sum*n^{mod-2}\%mod)^2)\%mod$=(psum∗nmod−2%mod+(sum∗nmod−2%mod)2)%mod

其中
线段树维护的区间平方和 $psum$psum
$psum = \sum_{i = 1}^{n}{x_i^2}$psum=i=1∑n​xi2​
线段树维护的区间和 $sum$sum
$sum = \sum_{i = 1}^{n}{x_i}$sum=i=1∑n​xi​

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define get_mod(x) (x % mod + mod ) % mod
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 500007, mod = 1e9 + 7;

int n, m;
int a[N];
int cnt;

int qpow(int b, int p = mod - 2, int m = mod)
{//快速幂用于费马小定理求乘法逆元
    b %= m;
    int res = 1 % m;
    for(; p; p >>= 1, b = (ll)b * b % m)
        if(p & 1)res = (ll)res * b % m;
    return res;
}

namespace tree
{
    #define get_powsum(x) ((ll)(x)*(x)%mod) //!
    struct tree
    {
        int l, r;
        int sum, psum;
        //int lz;
    }tr[N];

    inline void pushup(int p)
    {
        tr[p].sum = (tr[p << 1].sum + tr[p << 1 | 1].sum) % mod;
        tr[p].psum = (tr[p << 1].psum + tr[p << 1 | 1].psum) % mod;
    }

    void build(int p, int l, int r)
    {
        tr[p] = {l, r};
        if(l == r)
        {
            tr[p].sum = a[r] % mod;
            tr[p].psum = get_powsum(a[r]) % mod;
            return ;
        }
        int mid = l + r >> 1;
        build(p << 1, l, mid), build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
        pushup(p);
    }

    void modify(int p, int x, int k)
    {
        if(tr[p].l == tr[p].r)
        {
            tr[p].sum = k % mod;
            tr[p].psum = get_powsum(k) % mod;
            return ;
        }
        int mid = tr[p].l + tr[p].r >> 1;
        if(x <= mid)modify(p << 1, x, k);
        else modify(p << 1 | 1, x, k);
        pushup(p);
        
    }
    int query_sum(int p, int l, int r)
    {
        if(tr[p].l >= l && tr[p].r <= r)
        {
            return tr[p].sum % mod;
        }
        int mid = tr[p].l + tr[p].r >> 1;
        int res = 0;
        if(l <= mid)res = query_sum(p << 1, l, r) % mod;
        if(r > mid)res = (1ll * res +  query_sum(p << 1 | 1, l, r)) % mod;
        return res % mod;
    }
    int query_psum(int p, int l, int r)
    {
        if(tr[p].l >= l && tr[p].r <= r)
        {
            return tr[p].psum % mod;
        }
        int mid = tr[p].l + tr[p].r >> 1;
        int res = 0;
        if(l <= mid)res = query_psum(p << 1, l, r) % mod;
        if(r > mid)res = (1ll * res +  query_psum(p << 1 | 1, l, r)) % mod;
        return res % mod;
    }
}

int sum, psum, inv, ave, ans;

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i)
        scanf("%d", &a[i]);
    tree::build(1, 1, n);
    for(int i = 1; i <= m; ++ i)
    {
        int op, x, y;
        scanf("%d%d%d", &op, &x, &y);
        if(op == 1)
        {
            tree::modify(1, x, y % mod);
        }
        else {
            sum = tree::query_sum(1, x, y % mod) % mod;   //区间和
            psum = tree::query_psum(1, x, y % mod) % mod; //区间平方和
            inv = qpow(y - x + 1);                  //区间长度（分母）的逆元
            ave = (ll)sum * inv % mod;
            ans = (ll)psum * inv % mod - (ll)ave * ave % mod;
            ans = get_mod(ans);
            printf("%d\n", ans);
            //cout << "ok" << cnt ++ << endl;
        }
    }
    return 0;
}