数论逆元

逆元是数论之中的一个重要概念
参考博客 ACdreamer
参考书籍 《高中数学 选修 4-6》

什么是逆元

存在逆元的条件是什么

怎样求一个数的逆元

1. 欧几里得扩展
a∗b+n∗t=1$a\ast b+n\ast t=1$

long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    long long m = ex_gcd(b,a%b,y,x);
     y  -= a/b * x;
    return m;
}
int main()
{
    long long a,b,x,y;
    cin>>a>>b; //求a 关于b的逆元
    if(ex_gcd(a,b,x,y)==1)
        cout<<(x%b+b)%b<<endl;
    else
        cout<<"None"<<endl;
    return 0;
}

1. • 如果n 是素数，费马小定理 a(n−1)=1 (mod n)$a^{(n-1)}=1(modn)$,那么a关于n的逆元就 是a(n−2)$a^{(n-2)}$

long long qpow(long long a,long long b,long long m)//快速幂
{
    long long ans = 1;
    a %= m;
    while(b > 0)
    {
        if(b & 1)
           ans = (ans * a) % m;
        a = a * a % m;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
long long Fermat(long long a,long long p)//前提p是质数
{
    return qpow(a,p-2,p);
}

• 如果n 不是素数，利用欧拉定理同理

long long Euler(long long n)//求一个数的欧拉值
{
    if(n == 1)
        return 1;
    long long ans = n;
    for(int i = 2;i * i <= n; ++i)
    {
        if(n % i== 0)
        {
            while(n % i == 0)
                n /= i;
            ans = ans/i * (i-1);
        }
    }
    if(n != 1)
        ans = ans/n*(n-1);
    return ans;

}
long long Euler_to_invers(long long a,long long b)//
{
    return qpow(a,Euler(b)-1,b);
}

扩展

1. 线性逆元
如果p是一个奇质数，则可以在o(n）时间内求出所有关于同余系关于p的逆元
证明如下
对p进行带余除法
p=i∗k+t (0<t<i)$p=i\ast k+t(0<t<i)$
等式两边同时对关于p取模
于是 t=−i∗k(mod p)$t=-i\ast k(modp)$
等式两边同时乘以 inv(i)∗inv(t)$inv(i)\ast inv(t)$
inv(i)=−k∗inv(t)(mod p)$inv(i)=-k\ast inv(t)(modp)$
inv(i)=(p−k∗inv(t) )(mod p)$inv(i)=(p-k\ast inv(t))(modp)$
inv(i)=(p−p / i∗inv(p % i))(mod p)$inv(i)=(p-p/i\ast inv(p\mathrm{\%}i))(modp)$
这样就可以用一个数组存储关于p的所有逆元

    int inv[10000];
    int p;
    cin>>p;
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2;i < p; ++i)
    {
        inv[i] = (p - p/i*inv[p%i]%p)%p;
    }
    for(int i = 1;i < p; ++i)
        cout<<inv[i]<<" ";
    cout<<endl;
    for(int i = 1;i < p; ++i)
        cout<<i * inv[i] % p<<" ";

快速阶乘逆元

const int maxn = 1e5+10;
long long fac[maxn],invfac[maxn];
void init(int n){
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n; ++i) fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
    invfac[n] = qpow(fac[n],mod-2);
    for(int i = n-1;i >= 0; --i) invfac[i] = invfac[i+1]*(i+1)%mod;
}