点击进入【洛谷】P1044 栈

【洛谷】P1044 栈

---

卡特兰数数学原理：

---

算法分析：

• 假设[1…n]有序序列经过一番压栈出栈操作后，数字k是最后一个出栈元素
• 数字k将整个序列分成了两部分，[1…k-1]均先于k进行操作，[k+1…n]均晚于k进行操作
• 整个过程可以描述为：在k压栈之前[1…k-1]个元素已经全部压栈并出栈完毕，然后k压栈，存于栈底，之后[k+1…n]个元素同样进行压栈并全部出栈，剩下了k依然留在栈底，最后k才出栈。
• 如果记i个元素最终获得的序列为f(i)种，则前[1...k-1]个元素为f(k-1)种，后[k+1...n]元素为f(n-k)种，因为前后两部分元素压栈出栈相互独立，可以直接使用乘法原理，则f(k-1)*f(n-k)
• f(k-1)*f(n-k)表示当第k个元素最后出栈时，共有f(k-1)*f(n-k)种可能
• 当第 1 个元素最后出栈时，共有f(0)*f(n-1)种
• 当第 2 个元素最后出栈时，共有f(1)*f(n-2)种
• 当第 3 个元素最后出栈时，共有f(2)*f(n-3)种
• …
• 当第n-1个元素最后出栈时，共有f(n-2)*f(1)种
• 当第 n 个元素最后出栈时，共有f(n-1)*f(0)种
• 因此，n个元素的序列，共有f(n)=f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ....+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)种可能

---

总结出递推公式：

• f(0) = 1;
• f(1) = 1;
• f(2) = f(0)*f(1) + f(1)*f(0);
• f(3) = f(0)*f(2) + f(1)*f(1) * f(2)*f(0);
• f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ....+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)

---

算法设计：
使用数组f[N]存储n个元素的序列压栈出栈操作结果种数，f[0] = 1, f[1] = 1, 然后利用递推公式，循环求出其他值

---

代码实现：

int main()
{
	int n;
	int f[20] = {0};
	f[0] = 1;
	f[1] = 1;
	
	scanf("%d", &n);
	for(int i=2; i<=n; i++)
		for(int j=0; j<i; j++)
			f[i] += f[j]*f[i-1-j];
	printf("%d", f[n]);
	
	return 0;
}