Direct3D基础--渲染管线

本文为 Introduction to 3D Game Programming with DirectX 11 读书笔记

• • • • Color的XNA实现
      • Rendering Pipline
      • Input Assembler stage
      • The vertex shader stage
      • Projection and Homogeneous Clip Space
        • 齐次坐标
        • Defining a Frustum
        • Projecting Vertices
        • 标准设备空间 Normalized Device Coordinates (NDC)
        • XMMatrixPerspectiveFovLH
      • THE TESSELLATION STAGES
      • THE GEOMETRY SHADER STAGE
      • 剪裁 CLIPPING
      • THE RASTERIZATION STAGE(光栅化)
      • THE PIXEL SHADER STAGE
      • THE OUTPUT MERGER STAGE
    • 补充:透视纹理修正和1/z缓存

Color的XNA实现

XMVECTOR XMLoadColor(CONST XMCOLOR* pSource);

VOID XMStoreColor(XMCOLOR* pDestination, FXMVECTOR V);

Rendering Pipline

Input Assembler stage

input assembler (IA) 阶段从内存中读取几何数据，然后用它组合成几何原型（三角形、线等）。

Primitive Topology

被传输到渲染管线的顶点集合称为 vertex buffer，通过指定 primitive topology 来告诉Direct3D怎么从vertex数据中构成集合基元。

void ID3D11DeviceContext::IASetPrimitiveTopology(
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY Topology);

typedef enum D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY
{
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_UNDEFINED = 0,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_POINTLIST = 1,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_LINELIST = 2,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_LINESTRIP = 3,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLELIST = 4,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLESTRIP = 5,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_LINELIST_ADJ = 10,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_LINESTRIP_ADJ = 11,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLELIST_ADJ = 12,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLESTRIP_ADJ = 13,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_1_CONTROL_POINT_PATCHLIST = 33,
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_2_CONTROL_POINT_PATCHLIST = 34,
    ...
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_32_CONTROL_POINT_PATCHLIST = 64,
} D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY;

例子：

md3dImmediateContext->IASetPrimitiveTopology(
    D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLESTRIP);
/* ...draw objects using triangle strip... */

选择各种primitive_topology形成的基元

上图的图b表示带邻接三角形的三角形列表，adjacent triangles的表示也必须在输入中提供

Indices

因为直接重复的给顶点数据的话，顶点会有很大的冗余，所以使用Index来构成primitive。
例如：

Vertex v [9] = {v0, v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8};

UINT indexList[24] = {
    0, 1, 2, // Triangle 0
    0, 2, 3, // Triangle 1
    0, 3, 4, // Triangle 2
    0, 4, 5, // Triangle 3
    0, 5, 6, // Triangle 4
    0, 6, 7, // Triangle 5
    0, 7, 8, // Triangle 6
    0, 8, 1 // Triangle 7
};

The vertex shader stage

顶点着色器对顶点数据进行处理。

• 把对象从local坐标系转换到world坐标系
• 把world坐标系转换到camera坐标系（又称view space, eye space, or camera space），得到

在介绍View Space的时候，书上是先介绍的camera的坐标相对于world坐标的偏移，从view space到world space的转换矩阵 W，其中W=RT$W=RT$，那么world space到view space的转换矩阵就是

V=⎡⎣⎢⎢⎢⎢uxvxwxQxuyvywyQyuzvzwzQz0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥$$V=\left[\begin{array}{cccc}{u}_x& u_y& u_z& 0\\ v_x& v_y& v_z& 0\\ w_x& w_y& w_z& 0\\ Q_x& Q_y& Q_z& 1\end{array}\right]$$

V=W−1=(RT)−1=T−1R−1=T−1RT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢100−Qx010−Qy001−Qz0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢uxuyuz0vxvyvz0wxwywz00001⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢uxuyuz−Qxvxvyvz−Qywxwywz−Qz0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥$$\begin{gathered} V=W^{-1}=(RT{)}^{-1}=T^{-1}{R}^{-1}=T^{-1}{R}^T \\ =\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -Q_x& -Q_y& -Q_z& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{u}_x& v_x& w_x& 0\\ u_y& v_y& w_y& 0\\ u_z& v_z& w_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{u}_x& v_x& w_x& 0\\ u_y& v_y& w_y& 0\\ u_z& v_z& w_z& 0\\ -Q_x& -Q_y& -Q_z& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

对Unity的shader比较熟悉的朋友可能会看到
#define COMPUTE_EYEDEPTH(o) o = -UnityObjectToViewPos( v.vertex ).z
这里取出z后在前面加了一个负号，这个还没有特别好的解释，关于这个计算

给定camera的坐标，构造camera坐标系统，因为world space的轴现在是作为标准的坐标，所以这里求出来的就是view space相对于world space的转换，再把上面说的V=W−1$V=W^{-1}$考虑一下，就可以得到world space到view space的转矩阵了。j=(0,1,0)$j=(0,1,0)$

w=T−Q||T−Q||u=j×w||j×w||v=w×u$$\begin{gathered} w=\frac{T-Q}{||T-Q||} \\ u=\frac{j\times w}{||j\times w||} \\ v=w\times u \end{gathered}$$

XNA也提供了函数实现

XMMATRIX XMMatrixLookAtLH( // Outputs resulting view matrix V
    FXMVECTOR EyePosition, // Input camera position Q
    FXMVECTOR FocusPosition, // Input target point T
    FXMVECTOR UpDirection); // Input world up vector j

例子：

XMVECTOR pos = XMVectorSet(5, 3, -10, 1.0f);
XMVECTOR target = XMVectorZero();
XMVECTOR up = XMVectorSet(0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f);
XMMATRIX V = XMMatrixLookAtLH(pos, target, up);

Projection and Homogeneous Clip Space

齐次坐标

给定欧式平面上一点(x,y)，对任意非零实数z，三元组(xZ,yZ,Z)即称之为该点的齐次坐标。与笛卡尔坐标不同，一个点可以有无限多个齐次坐标表示法。
- 当Z不为0，则表示欧氏平面上该点为(X/Z,Y/Z)
- 当Z为0，则该点表示一无穷远点
三元组(0,0,0)不表示任何点，原点表示为(0,0,1)。

Defining a Frustum

定义视椎体的4个数：*面n$n$，远平面f$f$，竖直视角(vertical field of view angle) α$\alpha$，aspect ratio r$r$.
aspect ratio : r=w/h$r=w/h$，其中w和h分别为投影窗口的宽和高。

r=wh=w2⇒w=2rtan(α2)=1d⇒d=cot(α2)tan(β2)=rd=rcot(α2)=r⋅tan(α2)horzontal field of view angle ββ=2tan−1(r⋅tan(α2))$$\begin{gathered} r=\frac{w}{h}=\frac{w}{2}\Rightarrow w=2r \\ \tan (\frac{\alpha }{2})=\frac{1}{d}\Rightarrow d=\cot (\frac{\alpha }{2}) \\ \tan (\frac{\beta }{2})=\frac{r}{d}=\frac{r}{\cot (\frac{\alpha }{2})}=r\cdot \tan (\frac{\alpha }{2}) \\ \text{horzontal field of view angle }\beta \\ \beta =2{\tan }^{-1}(r\cdot \tan (\frac{\alpha }{2})) \end{gathered}$$

Projecting Vertices

给定视椎体中一个顶点(x,y,z)$(x,y,z)$，投影到*面上(x′,y′,d)$(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }},d)$
公式如下：

x′d=xz⇒x′=xdz=xcot(α/2)z=xztan(α/2)y′d=yz⇒y′=ydz=ycot(α/2)z=yztan(α/2)$$\begin{gathered} \frac{x^{\mathrm{\prime }}}{d}=\frac{x}{z}\Rightarrow x^{\mathrm{\prime }}=\frac{xd}{z}=\frac{x\cot (\alpha /2)}{z}=\frac{x}{z\tan (\alpha /2)} \\ \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{d}=\frac{y}{z}\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=\frac{yd}{z}=\frac{y\cot (\alpha /2)}{z}=\frac{y}{z\tan (\alpha /2)} \end{gathered}$$

如果一个点在视椎体中，那么就有：

−r≤x′≤r−1≤y′≤1n≤z≤f$$\begin{gathered} -r\le x^{\mathrm{\prime }}\le r \\ -1\le y^{\mathrm{\prime }}\le 1 \\ n\le z\le f \end{gathered}$$

标准设备空间 Normalized Device Coordinates (NDC)

为什么需要标准设备空间，因为从视椎体*面和camera的设置有关，屏幕空间和硬件屏幕有关，这两者之间需要一个桥梁来做转换，所以NDC非常有必要。

在NDC中只有满足如下条件，一个点在camera space才处于视椎体中（下面的z还没有标准化）

−1≤x′/r≤1−1≤y′≤1n≤z≤f$$\begin{gathered} -1\le x^{\mathrm{\prime }}/r\le 1 \\ -1\le y^{\mathrm{\prime }}\le 1 \\ n\le z\le f \end{gathered}$$

修改投影公式，使之直接将点映射到NDC

x′=xrztan(α/2)y′=yztan(α/2)$$\begin{gathered} x^{\mathrm{\prime }}=\frac{x}{rz\tan (\alpha /2)} \\ {y}^{\mathrm{\prime }}=\frac{y}{z\tan (\alpha /2)} \end{gathered}$$

把投影等式写成矩阵形式

这里用了一个小trick，将过程分解为线性和非线性的两个部分。非线性部分就是最后除以z

则投影矩阵为，假设A,B$A,B$为常数

P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1rtan(α/2)00001tan(α/2)0000AB0010⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥$$P=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{r\tan (\alpha /2)}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\tan (\alpha /2)}& 0& 0\\ 0& 0& A& 1\\ 0& 0& B& 0\end{array}\right]$$

则对任意顶点(x,y,z,1)$(x,y,z,1)$

[x,y,z,1]⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1rtan(α/2)00001tan(α/2)0000AB0010⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=[xrtan(α/2),ytan(α/2),Az+B,z]$$\left[\begin{array}{cccc}x,& y,& z,& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{r\tan (\alpha /2)}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\tan (\alpha /2)}& 0& 0\\ 0& 0& A& 1\\ 0& 0& B& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{x}{r\tan (\alpha /2)},& \frac{y}{\tan (\alpha /2)},& Az+B,& z\end{array}\right]$$

做完投影的线性变换之后，除以w维，w=z$w=z$。这就是非线性部分

[xrtan(α/2),ytan(α/2),Az+B,z]→divide by w[xrztan(α/2),yztan(α/2),A+Bz,1]$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{x}{r\tan (\alpha /2)},& \frac{y}{\tan (\alpha /2)},& Az+B,& z\end{array}\right]\stackrel{\text{divide by w}}{\to }\left[\begin{array}{cccc}\frac{x}{rz\tan (\alpha /2)},& \frac{y}{z\tan (\alpha /2)},& A+\frac{B}{z},& 1\end{array}\right]$$

除以w$w$有是被称为perspective divide或者homogeneous divide

标准化深度值

上面假设了A和B为常数，最后要将深度值从[n,f]$[n,f]$映射到[0,1]$[0,1]$上。
令g(z)=A+Bz$g(z)=A+\frac{B}{z}$，则必须满足g(n)=0,g(f)=1$g(n)=0,g(f)=1$
则

A=ff−nB=−nff−n$$\begin{gathered} A=\frac{f}{f-n} \\ B=\frac{-nf}{f-n} \end{gathered}$$

最终得到的正交投影矩阵(perspective projection matrix)为

P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1rtan(α/2)00001tan(α/2)0000ff−n−nff−n0010⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥$$P=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{r\tan (\alpha /2)}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\tan (\alpha /2)}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{f}{f-n}& 1\\ 0& 0& \frac{-nf}{f-n}& 0\end{array}\right]$$

XMMatrixPerspectiveFovLH

该投影矩阵也被XNA实现了

XMMATRIX XMMatrixPerspectiveFovLH( // returns projection matrix
    FLOAT FovAngleY, // vertical field of view angle in radians
    FLOAT AspectRatio, // aspect ratio = width / height
    FLOAT NearZ, // distance to near plane
    FLOAT FarZ); // distance to far plane

例子：

XMMATRIX P = XMMatrixPerspectiveFovLH(0.25f*MathX::Pi,
    AspectRatio(), 1.0f, 1000.0f);

//The aspect ratio is taken to match our window aspect ratio:
float D3DApp::AspectRatio()const
{
    return static_cast<float>(mClientWidth) / mClientHeight;
}

THE TESSELLATION STAGES

Tessellation是指把mesh的三角形再分割，添加新的三角形

THE GEOMETRY SHADER STAGE

geometry shader是可选的，它的主要优势是可以create or destroy geometry

剪裁 CLIPPING

将对象处在视椎体之外的部分剪裁掉


在homogeneous clip space中，在除以w之前，4D坐标为(x,y,z,w)$(x,y,z,w)$，则

−w≤x≤w−w≤y≤w0≤z≤w$$\begin{gathered} -w\le x\le w \\ -w\le y\le w \\ 0\le z\le w \end{gathered}$$

THE RASTERIZATION STAGE(光栅化)

光栅化阶段主要是，从投影的3D三角形，计算pixel color

视口转换（Viewport Transform）

从NDC转换到真实的要输出的窗口或者屏幕坐标

背面剪裁（Backface Culling）

背面剪裁是指将背对着camera的三角形剪裁掉
判断是否背对着camera

e0=v1−v0e1=v2−v1n=e0×e1||e0×e1||$$\begin{gathered} e_0=v_1-v_0 \\ {e}_1=v_2-v_1 \\ n=\frac{e_0\times e1}{||e_0\times e_1||} \end{gathered}$$

法向量对着camera的是正面front face，否则就是back face

Vertex Attribute Interpolation

必须对3D space的顶点的深度值，纹理采样点等信息做差值，这需要 perspective correct interpolation，并不是线性差值，如果直接线性差值将会得到下面演示的错误情况。

下图就是对深度值错误的差值

上图中多边形中screen space各线性差值点对应的world space的z不是线性变化的，而1/z是线性变化的。

THE PIXEL SHADER STAGE

逐像素的计算最后输出的值，这里可以做跟颜色阴影相关的计算

THE OUTPUT MERGER STAGE

所有没有被reject的输出都要写到back buffer。Blending就是在这个阶段做的。

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补充:透视纹理修正和1/z缓存

参考自《3D游戏编程大师技巧》

z在屏幕空间中不呈线性变化，只有1/z才呈线性变化。

证明：
使用下述两点之间的差值公式：

p=(1−t)∗p1+(t)∗p2(1)$$\begin{array}{}\text{(1)}& p=(1-t)\ast p1+(t)\ast p2\end{array}$$

其中p可以是向量，也可以是标量。
由下图推导出关系

在上图中，有两个位于世界坐标空间中的点，他们的坐标分别是(y1,z1)$(y1,z1)$和(y2,z2)$(y2,z2)$。将这些点投影到z=d$z=d$的视平面上，得到点(p1,d)$(p1,d)$和(p2,d)$(p2,d)$。另外，线段上任意一点(y,z)$(y,z)$投影到视平面上时得到点(p,d)$(p,d)$。

在3D空间中，位于y-z平面中（x=0）的直线的方程为：

a∗y+b∗z=c$$a\ast y+b\ast z=c$$

看上图，根据三角形相似可知，焦点(p,d)$(p,d)$和3D点(y,z)$(y,z)$是相似三角形上对应的点：
p/y=d/z$p/y=d/z$
求解y，得到
y=(p/d)∗z$y=(p/d)\ast z$，
带入到直线方程，得到
(a∗p/d)∗z+b∗z=c$(a\ast p/d)\ast z+b\ast z=c$，
将等式两边除以(a∗p/d)$(a\ast p/d)$，得到
z=c/((a∗p/d)+b)$z=c/((a\ast p/d)+b)$，
等式两边取倒数，得到
1/z=((a∗p/d)+b)/c=(a∗p/c∗d)+(b/c)$1/z=((a\ast p/d)+b)/c=(a\ast p/c\ast d)+(b/c)$，
将变量p与其他常量分离，得到

1/z=(a/c∗d)∗p+(b/c)(2)$$\begin{array}{}\text{(2)}& 1/z=(a/c\ast d)\ast p+(b/c)\end{array}$$

将上述两个点以及其投影点带入上述等式，得到

1/z1=(a/c∗d)∗p1+(b/c)1/z2=(a/c∗d)∗p2+(b/c)$$\begin{gathered} 1/z1=(a/c\ast d)\ast p1+(b/c) \\ 1/z2=(a/c\ast d)\ast p2+(b/c) \end{gathered}$$

再带入到最上提到的差值公式（1），得到
1/z=(a/c∗d)[(1−t)∗p1+(t)∗p2]+(b/c)$1/z=(a/c\ast d)[(1-t)\ast p1+(t)\ast p2]+(b/c)$
做一下变换，得到

1/z=[(a/c∗d)∗p1+(b/c)]∗(1−t)+[(a/c∗d)∗p2+(b/c)]∗(t)(3)$$\begin{array}{}\text{(3)}& 1/z=[(a/c\ast d)\ast p1+(b/c)]\ast (1-t)+[(a/c\ast d)\ast p2+(b/c)]\ast (t)\end{array}$$

观察等式（2）与等式（3）的关系，使用1/z1$1/z1$替换右边的项，可以得到

1/z=[(1/z1)]∗(1−t)+[(1/z2)]∗(t)$$1/z=[(1/z1)]\ast (1-t)+[(1/z2)]\ast (t)$$

这意味着可以在1/z1$1/z1$和1/z2$1/z2$之间进行线性差值。换句话说，任何3D空间量除以z的商在屏幕空间中都是呈线性变化的。