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ST算法_求RMQ问题_时间复杂度O(n*log2(n))+O(1)

程序员文章站 2022-07-12 23:08:34
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RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题:询问某段区间的最大/最小值

此类问题,此博客之前,我仅会线段树,线段树预处理和查询的复杂度都是O(logn)。

刚学习完ST算法,简述一下该算法如何实现:

(一)首先是预处理,用动态规划(DP)解决。O(n*log2(n))

设A[i]是要求区间最值的数列,F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。(DP的状态)

例如:

A数列为:3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1,2]=max(3,2,4,5) = 5,F[1,3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。(DP的初始值)

这样,DP的状态、初值都已经有了,剩下的就是状态转移方程。

我们把F[i,j]平均分成两段(因为f[i,j]一定是偶数个数字),从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段,i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i,j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max(F[i,j-1], F[i + 2^(j-1),j-1])。

(二)然后是查询 O(1)

假如我们需要查询的区间为(i,j),那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i,右边界取j)的最小幂(可以重复,比如查询5,6,7,8,9,我们可以查询5678和6789)。

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1),则有:RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。


#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define INF 3f3f3f3f
#define PI acos(-1)
#define FOR(x,n,i) for(int i=x;i<=n;i++)
#define FOr(x,n,i) for(int i=x;x<n;x++)
typedef long long LL;
using namespace std;
const int maxn = 1e6+5;
LL mi[maxn][20];//F[i][j]表示第i个数起,连续2^j的数中的最大/小值
LL mx[maxn][20]; 
int n,q;
LL arr[maxn];

void RMQinit(){
	FOR(1,n,i){
		mx[i][0]=mi[i][0]=arr[i];
	}
	int m=(int)(log(n*1.0)/log(2.0));
	FOR(1,m,i){
		FOR(1,n,j){
			mx[j][i] = mx[j][i-1];
			if(j+(1<<(i-1))<=n) mx[j][i]=max(mx[j][i],mx[j+(1<<(i-1))][i-1]);
			mi[j][i] = mi[j][i-1];
			if(j+(1<<(i-1))<=n) mi[j][i] = min(mi[j][i],mi[j+(1<<(i-1))][i-1]);
		}
	}
}

LL RMQmax(int l,int r){
	int m=(int)(log((r-l+1)*1.0)/log(2.0));
	return max(mx[l][m],mx[r-(1<<m)+1][m]);
}

LL RMQmin(int l,int r){
	int m=(int)(log((r-l+1)*1.0)/log(2.0));
	return min(mi[l][m],mi[r-(1<<m)+1][m]);
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&q);
	FOR(1,n,i){
		scanf("%lld",&arr[i]);
	}
	RMQinit();
	int l,r;
	while(q--){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		printf("%lld\n",RMQmax(l,r));
		printf("%lld\n",RMQmin(l,r));
	}
	return 0;
}

陆续更新RMQ相关的题目链接
continue...