碰撞检测 ：Separating Axis Theorem

引子

在 Collision Detection ：Transformation 中介绍了动态的碰撞检测，至此 CollisionDetection 项目的主要内容差不多都涉及了。在查询资料的时候，还接触到一些其它的检测方法，现在来看一下另外一种检测方法： Separating Axis Theorem 。

• Origin
• My GitHub

相关知识点

矢量和标量

简单的来说：

• 矢量（vector）也称向量，有大小和方向的量，例如加速度、力。
• 标量（scalar）只有大小（magnitude）的量，例如时间、温度。

在几何中，矢量用有向线段表示，表示如下：

矢量 V 计算方法：

• V = C2 - C1
• V = (7-3,7-2)
• V = (4,5)

法向量：向量的垂直向量，交换 x 和 y 分量，然后将坐标 x 分量取反。上面 V 的法向量为 (-5,4) 。

点积和投影

点积

两个矢量，可以用点积（Dot Product）的方式进行相乘，结果是一个标量。表示形式为： A · B 。

点积有两种计算方式：

方式一

A · B = Ax * Bx + Ay * By

方式二

A · B = |A| * |B| * cos(θ)

• |A| 是矢量 A 的量值
• |B| 是矢量 A 的量值
• θ 是矢量 A 和 B 之间的角度

还需要了解的一个概念就是单位向量，单位向量计算方法：向量除以向量自身的量值。

A / |A|

更多信息见这里。

投影

关于投影（Projection），先看下图：

想象用一个发出平行光线的光源，照射到一个物体上，将在一个面上产生阴影。这个阴影是三维物体的二维投影。

类似的，二维物体的投影就是一维的“阴影”。

点积和投影的关系

利用点积可以得出一个矢量在另外一个矢量上的投影。通过简单的推导就可以明白。

如上图所示，将 V 在 W 上的投影标量记为 Pw(V)，可以得知：

Pw(V) = |V| * cos(θ)

根据点积计算方法得知:

V · W = |V| * |W| * cos(θ)
V * (W / |W|) = |V| * cos(θ)

因此可以得出：

Pw(V) = |V| * cos(θ) = V * (W / |W|)

多边形

凸多边形

一条直线穿过一个多边形时，如果该线与多边形相交不超过（包含）两次，则该多边形为凸多边形（​Convex Polygon）。

凹多边形

一条直线穿过一个多边形时，如果该线与多边形相交超过两次，则该多边形为凹多边形（Concave Polygon）。

Separating Axis Theorem

分轴理论（Separating Axis Theorem）由 Hermann Minkowski 提出，可用于解决凸多边形碰撞问题，该理论表明：

如果存在一条轴线，两个凸面物体在该轴上的投影没有重叠，那么这两个凸面物体就没有重叠。

这个轴线称为分轴。接下来进一步讨论一下。在下文中分轴理论简称 SAT 。

没有重叠

在上图中，可以看到投影没有重叠，根据 SAT ，这个两个形状没有重叠。

SAT 在检测的时候，可能需要检测很多轴线，但只要检测到有一个轴线上投影没有重叠，就可以停止继续检测。由于这种特点，SAT 对于有很多物体但碰撞很少的应用（游戏、模拟等等）是理想的选择。

重叠

如果在所有分轴上，形状的投影都重叠，那么我们可以确定这些形状产生了重叠。示例如下：

算法实现

有了上面的原理，接下来转换成算法需要考虑的问题有：

1. 如何获取到所有潜在的分轴？
2. 投影重叠判断依据是什么？

问题 1

通过查找资料，第一个问题的答案是：在 2D 中，所有潜在的分轴是形状每条边的法线。

法线简单来说就是没有方向的法向量。在前面的知识点中有介绍。下面是一个大概逻辑实现：

const vertices = [] // 顶点的坐标集合，假设已有值
const axes = [] // 存放分轴
const verticesLen = vertices.length;

for (let i = 0; i < verticesLen; i++) {
  const p1 = vertices[i];
  const p2 = vertices[i + 1 == vertices.length ? 0 : i + 1];
  // 获取每条边的矢量代数表示，subtract 方法功能主要功能是 p2 的坐标与 p1 坐标分量相减
  const edge = subtract(p1,p2);
  // 获取法向量，normalAxes 方法主要功能： (x, y) => (-y, x) or (y, -x)
  const normal = normalAxes(edge);
  axes.push(normal);
}

问题 2

在上面的关于 SAT 的介绍中，在图示中可以比较明显观察到，在算法实现中，需要遍历形状所有的顶点与分轴执行点积，比较获得最小值和最大值。然后在一条轴线上大概标注出最小值和最大值，看是否有重叠的区间。

下面是一个大概逻辑实现：

假设有多边形 A 和多边形 B 。

const verticesA = []; // A 形状所有顶点坐标集合
const verticesB = []; // B 形状所有顶点坐标集合
const axes = [] // 存储获取的所有分轴
const axesLen = axes.length;

for (let i = 0; i < axesLen; i++) {
  const separateAxes = axes[i];
  // getProject 方法获取投影的最大和最小值
  const projectA = getProject(separateAxes,verticesA);
  const aMin = projectA.min;
  const aMax = projectA.max;
  const projectB = getProject(separateAxes,verticesB);
  const bMin = projectB.min;
  const bMax = projectB.max;
  // 符合该条件，表示投影重叠了。
  if ( (aMin <= bMax && aMin >= bMin) || (bMin <= aMax && bMin >= aMin) ) {
    continue;
  } else {
    return false;
  }
}

验证

根据上面的思路，以网页左上角作为坐标原点，水平向左作为 X 轴，垂直向下作为 Y 轴。根据 CSS 的单位描述坐标点。

这个是测试页面，移动端如下：

在上面测试页面中，以未重叠的投影数据为例，检测的数据投影到一条轴线上：

可以看出没有重叠。

参考资料

• Separating Axis Theorem
• SAT (Separating Axis Theorem)
• Collision Detection and Response
• Collision Detection Using the Separating Axis Theorem
• Dot product and vector projections