线性代数 复矩阵

一.复向量与复矩阵
1.复向量的模长:

设列向量z∈C^n,则|z|=z.<bar>^T·z,记为|z|=z^H·z
  #<xxx>.bar表示取共轭;^H表示取共轭并转置

2.复向量的内积:

设列向量x,y∈C^n,则<x,y>=x^H·y
  #当x=y,内积就是x的模长

#正交:
若<x,y>=x^H·y=0,则复列向量x,y正交

3.埃尔米特矩阵(Hermite Matrix):

如果复矩阵A满足A^H=A,则称A为埃尔米特矩阵
  #(实)对称矩阵是埃尔米特矩阵中元素全为实数时的特殊情况

#性质:
1.埃尔米特矩阵对角线上的元素一定是实数
2.特征值均为实数,可以找到1组特征向量两两正交
3.埃尔米塔矩阵是方阵

4.酉矩阵(Unitary Matrix):

若复矩阵Q满足Q^H·Q=I,则称Q为酉矩阵
  #(实)正交矩阵是酉矩阵中元素全为实数时的特殊情况

#性质:
1.酉矩阵的列向量组为单位正交复向量组
2.酉矩阵是方阵

二.傅里叶矩阵
1.傅里叶矩阵(Fourier Matrix):

n阶傅里叶矩阵记为F_n
F_n=[1,1,1...1;1,W,W^2...W^{n-1};1,W^2,W^4...W^{2(n-1)};...;1,W^{n-1},W^{2(n-1)}...W^{(n-1)(n-1)}]
   =(W^{ij})_n (i,j=0,1,2...n-1,W^n=1)
也是酉矩阵