动态规划--最小路径和

题目：
64. 最小路径和
给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例:

输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
思路：
可以向下或者向右，2种可能性，可以联想到状态转移方程是根据这个来的。首先 用基本思路，2维数组来表示 到达每一步的最小路径和。比如我们从 左上角开始走。因为他只能向下或者向右，所以 第一行和第一列其实是可以直接计算的，只要累加求和即可
难点就在于非第一行和第一列的：
比如走到5的时候。可能是3 向下 或者是 2 向右。 明显 2向右 成本更低 故 5的位置 为 （5+2）。
状态转移方程为：dp[i][j] = grid[i][j] + Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
代码 如下

public int getMin(int[][] grid) {
	// 初始化dp数组，尺寸和原数组一致
	int[][] dp = new int[grid.length][grid[0].length];
	dp[0][0] = grid[0][0];
	// 初始化第一行
	for(int i = 1; i < grid.length;i++) {
		dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
	}
	// 初始化第一列
	for(int j = 1; j < grid.length;j++) {
		dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
	}
	// 填充其他位置的元素
	for(int i = 0; i < grid.length;i++) {
		for(int j = 0; j < grid[0].length;j++) {
			dp[i][j] = grid[i][j] + Math.min(dp[i-1][j]， dp[i]dp[j-1]);
		}
	}
	return dp[grid.length][grid[0];
}

压缩空间解法

如果不用二维数组，使用一维数组其实也可以。就是不断复用上一次的数组。
这道题 从左上 或者从右下 其实都可以。从左上 就是返回右下 的值，相反亦是
比如从左上开始，第一步，初始化第一行，因为就一维数组嘛。也不会像上面的题解 同时初始化第一列了。
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
则一维数组 ，分4种情况，第一个元素，第一行，第一列，中间的元素（不在第一行也非第一列）
第一行 ：只要 用当前结点值 + dp数组前一个元素即可
第一列 ：当前结点值 + dp数组 当前元素 ，则上一行计算的时候，这列的dp数组的值！
中间的元素：当前结点值 + （左边的或者上面的，因为就这2条路径可以走下来，左边的直接用dp[j-1],至于上面的，则dp[j] 为上一行计算的时候 ，这个列的dp数组的值！）
个人认为 这个难点就在于 搞清楚路径的逻辑，因为他只能向下或者向右。这句话就表示了你要从哪两个元素中比较最小值。至于动态规划的状态转移返程也就根据这个出来。
一维数组 更节省空间。相对二维数组会难以理解一些。主要是数组的复用，当遍历每一行的时候。利用上一行的值进行计算，同时修改已经用过得值，类似于用完了就抛弃掉？思路和二维数组是无差异的。

代码如下：

 public int minPathSum(int[][] grid) {
      int[] dp = new int[grid[0].length];
      for(int i = 0; i < grid.length;i++) {
          for(int j = 0;j < grid[0].length;j++) {
              if (i == 0 && j != 0) {
                  dp[j] = grid[i][j] + dp[j-1];
              } else if (i != 0 && j == 0) {
                  dp[j] = grid[i][j] + dp[j];
              } else if (i != 0 && j != 0) {
                  dp[j] = grid[i][j] + Math.min(dp[j-1], dp[j]);
              } else {
                  dp[j] = grid[0][0];
              }
          }
      }
        return dp[grid[0].length - 1];
}