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第二十一章 基于鹰栖息（eagle perching）的无模型优化

  今天介绍一种新颖的优化算法—鹰栖息优化（eagle perching optimizer，EPO）[1]，该算法模仿了老鹰栖息的天性，由Ameer Tamoor Khan和Shuai Li于2018年提出的，这篇文章也是李老师推荐给我学习的。总体感觉该算法原理简单，实现容易，参数较少，性能较优。

21.1 灵感

  鹰是许多大型食肉鸟类的统称，它们属于鹰科，也是食肉动物。它们的捕猎方式很独特，它们会飞到可能很高的地方，然后开始定位猎物。猎物一旦被跟踪，它们就俯冲下去捕获猎物。老鹰居住在高处，通常是高树、峭壁和大山上。它们有着天生的算法可以帮助追踪最高的地方，首先老鹰先高高地飞向空中，观察地面并采样一些点，在这些采样点中寻找最高位置，然后它们下降到那个点，随着越来越靠近，它们会再次进行采样，进一步明确最高点位置。就是通过这样迭代执行该过程并进行微调以寻找驻留的最高位置。图1展示了它们内置的栖息算法的本质。

图1 老鹰栖息的天性。（a）老鹰在搜索空间中盘旋。（b）老鹰进行采样并在其中寻找最高点。（c）老鹰到达采样点。（d）老鹰进一步对搜索空间采样，不过此时空间很小，同样寻找最高点。（e~h）老鹰遵循相同的模式，直至到达最高点。
  EPO就是利用了这种特性，然后用于获得最优解。在该算法中会有一群老鹰各自寻找最佳的驻留高度，然后再从所有的老鹰中寻找最优解。 ## 21.2 EPO数学表达   老鹰通过一种简单但独特的方式探索地形，在高空飞行时，它通过取样几个点来观察四周，然后向最高点移动，到达最高点后，它再次扫视四周，重复同样的过程，这种重复的过程使鹰能够到达最高点。当老鹰飞向高空俯瞰地面时，由于视野较为开阔，可以看到整体地貌，这实际上为探索的过程，当老鹰飞向采样点时，又会在其周围寻找是否还有更高的点，这就是利用的过程。在函数优化时，可以利用这种思想，先全局搜索再局部利用，从而达到较好的优化，而从探索到利用的转换是随机优化算法的关键所在，EPO算法通过以下实现这种转换：

$l_{\text {scale}}=l_{\text {scale}} * \text {eta}\tag {1}$lscale​=lscale​∗eta(1)

  其中l_scale是缩放变量（scaling variable），该值随着迭代的进行会不断降低，使得算法由探索转向利用。eta是一收缩常量，满足0<eta<1，其可以根据最终值分辨率计算得到：

$e t a=\left(\frac{r e s}{l_{s c a l e}}\right)^{1 / t_{s}}\tag {2}$eta=(lscale​res​)1/ts​(2)

  其中t_s是最大迭代次数，res为分辨率范围参数，满足0<res<l_scale以将eta限制在0到1之间。注意如果eta>1，那么就无法实现从探索到利用的目标，因为随着算法的运行，探索的空间会越来越大。
为了实现更快的优化，文中采用了一群老鹰协同进行空间搜索。

  其中n表示粒子（老鹰）数量，m为决策空间维度。

  为了理解粒子(老鹰)在搜索空间中的移动，考虑一个位于x位置的粒子，它可以*地、随机地向所有可能的方向移动。在每次迭代时，在当前位置增加一项ΔX（随机值），即X+ΔX，则有：

$X=X+\Delta X\tag {4}$X=X+ΔX(4)
其中

  R∈(0,1)表示随机值，对于X的每一个元素有

$X_{i, j}=X_{i, j}+\Delta X_{i, j}\tag {6}$Xi,j​=Xi,j​+ΔXi,j​(6)
  其中i代表第i个粒子，j代表当前位置的第j维。

  群体中的每一只老鹰通过下式评估采样点的高度：

$Y_{i, j}=f\left(X_{i, j}\right)\tag {7}$Yi,j​=f(Xi,j​)(7)

  对于最小化函数，为了寻找最小的Ymin，定义两个变量YBest和XBest，其进化过程如下：

  但在原文中式（8）应该是写错了。

图2 原文中的错误

21.3 EPO算法

  通过以上数学描述，可以给出如下的EPO的伪代码。

procedure
	初始化所有变量
	for <最大迭代次数 do
		根据式（5）计算ΔX
		根据式（4）计算X
		for <总粒子个数> do
			根据式（7）评估Y
		end for
		根据式（7）评估Ymin
		通过式（8）比较Ymin
		if 式（8）满足 then
			执行式（9）和（10）
			根据式（1）重新评估lscale
		end if
	end for
end procedure

21.4 改进的EPO

  为了加速EPO的收敛，文中还对eta的计算进行了一点改进，每次迭代时，eta按下式进行计算：

$e t a=e t a_{\max }-t * \frac{e t a_{\max }-e t a_{\min }}{t_{s}}\tag {11}$eta=etamax​−t∗ts​etamax​−etamin​​(11)

  其中etamax和etamin分别代表eta的最大值（初始值）和最小值（最终值），该eta可以使得从探索向利用的转换更贱快速和有效。文中还给出了具有可变eta的改进EPO算法。

procedure
	初始化所有变量
	for <最大迭代次数 do
		根据式（5）计算ΔX
		根据式（4）计算X
		for <总粒子个数> do
			根据式（7）评估Y
		end for
		根据式（7）评估Ymin
		通过式（8）比较Ymin
		if 式（8）满足 then
			执行式（9）和（10）
			根据式（1）重新评估lscale
			根据式（11）计算eta
		end if
	end for
end procedure

  另一个改进在于，根据式（7）评估完所有粒子的值后，又根据式（12）对解按照从优到劣的顺序进行排序，从中选择n个最好的解，并将这些解对应的坐标存于式（14）中的数组中，再对数组中的元素进行平均（式（15）），得到的结果用于根据式（7）计算函数值。这个改进的意义在于，通过平均值Xavg而不是单个最优Xbest，进一步扩大算法范围。

$Y_{\text {sort}}=\left[Y_{\text {best}_{1}} \quad Y_{\text {best}_{2}} \quad Y_{\text {best}_{3}} \quad Y_{\text {best}_{4}} \quad \ldots Y_{\text {worst}}\right]\tag {12}$Ysort​=[Ybest1​​Ybest2​​Ybest3​​Ybest4​​…Yworst​](12)

$Y_{\text {sort}}=\left[Y_{\text {best}_{1}} \quad Y_{\text {best}_{2}} \quad Y_{\text {best}_{3}} \quad Y_{\text {best}_{4}} \ldots Y_{\text {best}_{n}}\right]\tag {13}$Ysort​=[Ybest1​​Ybest2​​Ybest3​​Ybest4​​…Ybestn​​](13)

$X_{\text {sort}}=\left[X_{\text {best}_{1}} \quad X_{\text {best}_{2}} \quad X_{\text {best}_{3}} \quad X_{\text {best}_{4}} \ldots X_{\text {best}_{n}}\right]\tag {14}$Xsort​=[Xbest1​​Xbest2​​Xbest3​​Xbest4​​…Xbestn​​](14)

$X_{a v g}=\frac{X_{b e s t_{1}}+X_{b e s t_{2}}+X_{b e s t_{3}} \ldots+X_{b e s t_{n}}}{n}\tag {15}$Xavg​=nXbest1​​+Xbest2​​+Xbest3​​…+Xbestn​​​(15)

  文中在单峰函数和多峰函数上比较了两种算法的性能，结论是改进的EPO在精度和标准差上更优。

21.5 算法对比与应用

  文中比较了EPO与其他元启发式算法（蚁狮优化-ALO、蜻蜓优化-DA、粒子群-PSO、遗传算法-GA、花朵授粉算法-FPA、物质状态搜索算法-SMA、布谷鸟搜索-CS、蝙蝠算法-BA和萤火虫算法-FA）的性能，结果表明在单峰和多峰函数上都能得到很高的精度。

图3 单峰案例结果

图4 多峰案例结果

  在约束优化中，主要用EPO解决了悬臂梁设计问题、三杆桁架设计问题和齿轮系设计问题。

图5 悬臂梁设计问题

图6 三杆桁架设计问题

图7 齿轮系设计问题

21.6 结论

  其实论文中还给出了EPO算法的收敛性证明，以及一些关键参数对算法性能的影响，这里我没有详细地讲述，感兴趣的读者可以点击“阅读全文”查看原文。我说说一下自己的感受吧，论文中主要采用了一种从探索到利用的控制策略，是一个由粗调到细调的过程，但是有一点论文中没有指出，参数lscale到底是如何控制变量的取值空间的，是影响ΔX吗还是什么，相关公式和算法中都没有提及，最后的验证部分本质上还都是数值优化问题，这与算法对比部分有点重复，个人感觉如果可以解决一些组合优化问题就更好了。

参考文献

1. Tamoor Khan, A., et al. Model-Free Optimization Using Eagle Perching Optimizer. arXiv e-prints, 2018.