编译原理笔记 —— 程序设计语言及其文法

程序设计语言及其文法

00. 字母表 （Alphabet）与字母表的运算

• 字母表∑是一个有穷符号集合
  • 符号：字母、数字、标点符号、…
• 例：
  • 二进制字母表：{ 0,1 }
  • ASCII字符集
  • Unicode字符集

• 字母表∑1和∑2的乘积product
• ∑1∑2 ={ab|a ∈ ∑1 , b ∈ ∑2 }
• 例：

{0, 1} {a, b} ={0a, 0b, 1a, 1b}

• 字母表∑的n次幂power

{0, 1}^3 ={0, 1}*{0, 1}*{0, 1} ={000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}

字母表的n次幂：长度为n的符号串构成的集合

• 字母表∑的正闭包positive closure

• ∑^+ = ∑ ∪ ∑2 ∪ ∑3 ∪ …

• 例如

{a, b, c, d }
^+ = {a, b, c, d,
aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, …,
aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, …}

字母表的正闭包：长度正数的符号串构成的集合

• 字母表∑的克林闭包(Kleene closure)
  • ∑* = ∑0 ∪ ∑+ = ∑0 ∪ ∑ ∪ ∑2 ∪ ∑3 ∪ …

{a, b, c, d }
* = {ε, a, b, c, d,
aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, …,
aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, …}

字母表的克林闭包：任意符号串（长度可以为零）构成的集合

01. 串(String)

• 设∑是一个字母表，x∈∑* ，x称为是∑上的一个串

  • 串是字母表中符号的一个有穷序列

• 串s的长度，通常记作|s|，是指s中符号的个数

  • |aab|=3

• 空串是长度为0的串，用ε（epsilon）表示

  • |ε|= 0

• 如果 x和y是串，那么x和y的连接(concatenation) 是把y附加到x后面而形成的串，记作xy

  • 例如，如果 x=dog且y=house，那么xy=doghouse
  • 空串是连接运算的单位元identity，即对于任何串s都有，εs = sε = s

• 设x,y,z是三个字符串，如果x=yz， 则称y是x的前缀，z是x的后缀

• 串上的运算——幂

• 串s的幂运算

s^0= ε，
s^n = s^n-1s, n ≥1
s^1 = s^0*s = εs = s，s^2 = ss，s^3 = sss，…

• 例如

例：如果 s =ba，那么s^1= ba，s^2=baba，
s^3=bababa

串s的n次幂：将n个s连接起来

02. 自然语言的例子——句子的构成规则

• <句子> -> <名词短语> <动词短语>
• <名词短语> -> <形容词> <名词短语>
• <名词短语> -> <名词>
• <动词短语>-> <动词> <名词短语>
• <形容词> -> <little>
• <名词> -><boy>
• 名词 <apple>
• 动词 <eat>

• 未用尖括号括起来部分表示 语言的基本符号
• 尖括号括起来部分称为语法成分

03. 文法的形式化定义

• G = (VT , VN , P , S )
• VT：终结符集合
• 终结符（terminal symbol）是文法所定义的语言的基本符号，有时也称为token
• 例: VT = { apple, boy, eat, little }
• VN：非终结符集合
  • 非终结符nonterminal 是用来表示语法成分的符号， 有时也称为语法变量
  • 例: VN = { <句子>, <名词短语>, <动词短语>, <名词>, … }

• 产生式production描述了将终结符和非终结符组合成串的方法 产生式的一般形式：
  • α→β
• 读作：α定义为β
  • α∈(VT∪VN ) + ，且α中至少包含VN中的一个元素：称为产生式的头 (head )或左部(left side)
• β∈(VT∪VN ) * ：称为产生式的体body或右部right side

• G = (VT , VN , P , S )

• P：产生式集合

• 产生式production描述了将终结符和非终结符组合成串的方法产生式的一般形式：

  • α→β

• S ：开始符号

04. 产生式的简写

• 对一组有相同左部的α产生式

  • α→β1 , α→β2 , … , α→βn
  • 可以简记为：
    • α→β1 | β2 | … | βn

• 读作：α定义为β1，或者β2，…，或者βn。

• β1，β2，…，βn称为α的候选式Candidate

06. 符号约定

• 下述符号是终结符：
  • 字母表中排在前面的小写字母，如 a、b、c
  • 运算符，如 +、 *等
  • 标点符号，如括号、逗号等
  • 数字 0、1、. . . 、9
  • 粗体字符串，如id、if等

• 下述符号是非终结符
  • 字母表中排在前面的大写字母，如A、B、 C
  • 字母S。通常表示开始符号
  • 小写、斜体的名字，如 expr、stmt等
  • 代表程序构造的大写字母。如E(表达式)、T(项) 和F(因子)

• 字母表中排在后面的大写字母（如X、Y、Z） 表示文法符号（即终结符或非终结符）
• 字母表中排在后面的小写字母（主要是u、v、. . . 、z） 表示终结符号串（包括空串）
• 小写希腊字母，如α、β、γ，表示文法符号串（包括空串）
• 除非特别说明，第一个产生式的左部就是开始符号

07. 语言的定义

7.1 推导 (Derivations)和归约(Reductions)

• 给定文法G=(VT , VN , P , S )，如果 α→β ∈ P，那么 可以将符号串γαδ中的α替换为β，也就是说，将γαδ 重写(rewrite)为γβδ，记作 γαδ -> γβδ。此时，称文法中的符号串 γαδ 直接推导(directly derive)出 γβδ
• 简而言之，就是用产生式的右部替换产生式的左部

• 如果α0 -> α1，α1 -> α2，α2->α3，…，αn-1-> αn，则可以记作α0->α1->α2->α3-> …-> αn-1->αn，称符号串 α0经过n步推导出αn，可简记为α0 ->n αn

7.2 句型和句子

7.3 语言的形式化定义

• 由文法G的开始符号S推导出的所有句子构成的集合称为文法G生成的语言，记为L(G )。 即

• 例子：

1. S → L | LT
2. T → L | D | TL | TD
3. L → a | b | c | … | z
4. D → 0 | 1 | 2 | 3 |…| 9

该文法生成的语言是：标识符

7.4 语言上的运算

令L={A，B，…，Z，a，b，…，z}，D={0，1， …，9}。则L(L∪D) *表示的语言是标识符

08. 文法的分类

• 0型文法 (Type-0 Grammar)
• 1型文法 (Type-1 Grammar)
• 2型文法 (Type-2 Grammar)
• 3型文法 (Type-3 Grammar)

8.1 0型文法 (Type-0 Grammar)

• α → β

• 无限制文法Unrestricted Grammar / 短语结构文法 Phrase Structure Grammar, PSG

  • ∀α → β∈P， α中至少包含1个非终结符

• 0型语言

  • 由0型文法G生成的语言L(G )

8.2 1型文法 (Type-1 Grammar)

• α → β
• 上下文有关文法(Context-Sensitive Grammar , CSG )
• ∀α → β∈P，｜α｜≤｜β｜
• 产生式的一般形式： α1Aα2 → α1βα2 ( β≠ε )
• 上下文有关语言（1型语言)
• 由上下文有关文法 (1型文法) G生成的语言L(G)

CSG中不包含ε-产生式

8.3 2型文法 (Type-2 Grammar)

• α → β
• 上下文无关文法 (Context-Free Grammar, CFG)
• ∀α → β∈P，α ∈ VN
• 产生式的一般形式：A→β

例：
S → L | LT
T → L | D | TL | TD
L → a | b | c | d |…| z
D → 0 | 1 | 2 | 3 |…| 9

• 上下文无关语言（2型语言）
• 由上下文无关文法 (2型文法) G生成的语言L(G )

8.4 3型文法 (Type-3 Grammar)

• α → β

• 正则文法 (Regular Grammar, RG)

  • 右线性(Right Linear)文法：A→wB或 A→w
  • 左线性(Left Linear) 文法： A→Bw 或 A→w
  • 左线性文法和右线性文法都称为正则文法

• 正则语言（3型语言）

• 由正则文法 (3型文法) G生成的语言L(G )

正则文法能描述程序设计语言的多数单词

8.5 四种文法之间的关系

• 逐级限制
  • 0型文法：α中至少包含1个非终结符
  • 1型文法CSG ：｜α｜≤｜β｜
  • 2型文法CFG：α ∈ VN
  • 3型文法（RG）：A→wB 或 A→w(A→Bw 或A→w)

• 逐级包含

09. CFG的分析树

9.1 CFG 的分析树

• 例子

G：
1. E → E + E
2. E → E * E
3. E → - E
4. E → ( E )
5. E → id

• 根节点的标号为文法开始符号
• 内部结点表示对一个产生式A→β的应用，该结点的标号是此产生式左部A 。该结点的子结点的标号从左到右构成了产生式的右部β
• 叶结点的标号既可以是非终结符，也可以是终结符。从左到右排列叶节点得到的符号串称为是这棵树的产出( yield )或边缘(frontier)

9.2 分析树是推导的图形化表示

• 给定一个推导 S -> α1-> α2 ->… -> αn ，对于推导过程中得到的每一个句型αi，都可以构造出一个边缘为αi的分析树

• 推导过程：E -> -E -> - ( E ) -> - ( E+E ) -> - ( id+E ) -> - ( id+id )

9.3 (句型的）短语

• 给定一个句型，其分析树中的每一棵子树的边缘称为该句型的一个短语phrase

• 如果子树只有父子两代结点，那么这棵子树的边缘称为该句型的一个直接短语immediate phrase

9.4 二义性文法 (Ambiguous Grammar)

• 如果一个文法可以为某个句子生成多棵分析树， 则称这个文法是二义性的

9.5 二义性文法的判定

• 对于任意一个上下文无关文法，不存在一个算法， 判定它是无二义性的；但能给出一组充分条件， 满足这组充分条件的文法是无二义性的
  • 满足，肯定无二义性
  • 不满足，也未必就是有二义性的