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使用基于邻接表的Dijkstra算法求解Project Euler问题

程序员文章站 2022-03-13 19:19:35
...
Project Euler中的几个问题

  首先,来看一看Project Euler上的第81到83题。这几个题目的前提条件是一样的,已知一个80×80的矩阵(由正整数组成)
  81题Find the minimal path sum, in the 80 by 80 matrix, from the top left to the bottom right by only moving right and down.
  其意思是:只允许从上往下或从左到右,找一条从这个矩阵左上角到右下角的路径,使得路径上的数字之和最小。

  82题Find the minimal path sum, in the 80 by 80 matrix, from the left column to the right column,by only moving up, down, and right.
  该题的意思是:允许从上到下或从下到上或从左到右移动,找一条从该矩阵最左列到最右列的路径,使得路径上的数字之和最小。

  83题Find the minimal path sum, in the 80 by 80 matrix, from the top left to the bottom right by moving left, right, up, and down.
  翻译过来就是:可以上下左右移动,找一条从该矩阵左上角到右下角的路径,使得路径上数字之和最小。

  这几个题非常类似,都是从一个给定矩阵找一条路径使得上面数字之和最小。只不过移动的方式越来越多,因此可以想象这几个题目的难度也是越来越大。如果对动态规划比较熟悉的话,很容易可以看出81与82题是可以使用动态规划来解决的。只不过81题属于典型的动态规划题,很容易写出代码,而82题稍稍麻烦了一点。
  不过这里我不谈怎么使用动态规划来解决这些问题,而是转换一下考察问题的角度,将这几个问题转换成图论中经典的“最短路”问题,然后可以使用同样的方法完美解决之。
  首先,将80×80的矩阵看成一个80×80个顶点的图,如果能够从矩阵(i,j)移动到(u,v),则用一条(i,j)到(u,v)的边将这两个顶点连接起来,并且该边的权即为矩阵在(u,v)处的取值。这样,就将一个矩阵转换为一个带权的有向图。并且容易看出,题目中要求的“数字之和最小的路径”对应该有向图的一个“最短路”。这三个题的区别只在于顶点与顶点之间连接的边不一样。


Dijkstra算法与实现

  图论中关于求“最短路”问题的算法有很多,著名的有Floyd-Warshall算法,Bellman-Ford 算法etc。不过,Floyd-Warshall算法虽然实现简单,但时间复杂度是O(n^3),而这里n = 80*80 = 6400,使用Floyd-Warshall算法时间上无法接受。另外,这三个题中涉及到的有向图都属于稀疏图,所以我采用了基于图的邻接表结构的Dijkstra算法,这个实现的时间复杂度是O(e×log e),其中e表示边的条数。由于这三个题中e = O(v)(v指图的顶点个数),因此最后我们得到了时间复杂度为O(v log v)的解法(这些题中,v = 80*80)。下面是使用Scala实现的Dijkstra算法:
/**
  &#Graph.scala
  utils for graph algorithm
  @author Eastsun
*/
package eastsun.math

object Graph {
    /**
      This is an implementation of Dijkstra's algorithm to find the shortest path for a directed
      graph with non-negative edge weights.
    */
    def dijkstra(size :Int,start :Int,lst :Int=> Iterable[(Int,Int)]):Array[Int] = {
        import java.lang.Integer.{ MAX_VALUE => INF }
        implicit def t2o(t :(Int,Int)) = new Ordered[(Int,Int)]{
            def compare(that :(Int,Int)) = that._2 - t._2
        }
        val pq = new scala.collection.mutable.PriorityQueue[(Int,Int)]
        val dist = Array.make(size,INF)
        val mark = Array.make(size,false)
        pq += start->0
        while(!pq.isEmpty){
            val (idx,dst) = pq.dequeue
            if(!mark(idx)){
                mark(idx) = true
                dist(idx) = dst
                for((i,d) <- lst(idx);if dist(i)>dst+d){
                    dist(i) = dst+d
                    pq += i->dist(i)
                }                
            }
        }
        dist   
    }
}

  考虑到对Scala熟悉的不多,我简单解释一下上面这段代码。首先,函数
    def dijkstra(size :Int,start :Int,lst :Int=> Iterable[(Int,Int)]):Array[Int] 

有三个参数,其中:
    size    表示要考虑的有向图的阶(也就是顶点个数)
    start    要求的最短路的起始点
    lst     一个参数为Int返回值为Iterable[(Int,Int)]的函数。lst(k)将返回图的第k个顶点对应的邻接表,邻接表的每个节点保存两个值(idx,dst)。其中idx表示顶点k到顶点idx有一条边,dst表示这条边的权值。
返回值为一个整型数组Array[Int],该数组保存了最终结果,其长度为size,第k个元素的值表示从顶点start到顶点k的最短距离,如果不能到达,则为Integer.MAX_VALUE。

  其次,看一下这段代码:
        implicit def t2o(t :(Int,Int)) = new Ordered[(Int,Int)]{
            def compare(that :(Int,Int)) = that._2 - t._2
        }
        val pq = new scala.collection.mutable.PriorityQueue[(Int,Int)]

这段代码的功能是new了一个优先队列pq,该优先队列里面保存的数据类型为(idx,dst)。其中idx为顶点的序号,而dst为距离。并且规定了一个顺序Ordered[(Int,Int)],使得优先队列保持dst最小的在最上面。
  可以计算,上面的Dijkstra实现的时间复杂度为O(e log e)。


解题代码
  有了上面的介绍,下面直接给出Project Euler这几个问题的代码,可以看到,这几个问题的解题代码非常一致(82题略有不同)
81题的解题代码:
import eastsun.math.Graph._
import scala.io.Source._

object Euler081 extends Application {
    val mtx = fromFile("matrix.txt").getLines.map{ line =>
                  line.split(",").map(_.trim.toInt)
              }.toList.toArray
  
    val LEN = mtx.size
    val SIZE = LEN*LEN
    def lst(n :Int):List[(Int,Int)] = {
        val (x,y) = (n/LEN,n%LEN)
        var ls = Nil:List[(Int,Int)]
        if(x < LEN-1) ls = (n+LEN,mtx(y)(x+1))::ls
        if(y < LEN-1) ls = (n+1,mtx(y+1)(x))::ls
        ls
    }
    println(dijkstra(SIZE,0,lst)(SIZE-1)+mtx(0)(0))
}


82题的解题代码:
import scala.io.Source._
import eastsun.math.Graph._

object Euler082 extends Application {
    val mtx = fromFile("matrix.txt").getLines.map{ line =>
                  line.split(",").map(_.trim.toInt)
              }.toList.toArray
    val LEN = mtx.size
    val SIZE = LEN*LEN
    def lst(n :Int):List[(Int,Int)] = {
        val (x,y) = (n/LEN,n%LEN)
        var ls = Nil:List[(Int,Int)]
        if(y > 0)     ls = (n-1,mtx(y-1)(x))::ls
        if(y < LEN-1) ls = (n+1,mtx(y+1)(x))::ls
        if(x < LEN-1) ls = (n+LEN,mtx(y)(x+1))::ls
        ls
    }
    val res = 0.until(LEN).map{ n =>
                  dijkstra(SIZE,n,lst).slice(SIZE-LEN,SIZE).reduceLeft(_ min _)+mtx(n)(0)
              }.reduceLeft(_ min _)
    println(res)
}


83题的解题代码:
import scala.io.Source._
import eastsun.math.Graph._

object Euler083 extends Application {
    val mtx = fromFile("matrix.txt").getLines.map{ line =>
                  line.split(",").map(_.trim.toInt)
              }.toList.toArray
    val LEN = mtx.size
    val SIZE = LEN*LEN
    def lst(n :Int):List[(Int,Int)] = {
        val (x,y) = (n/LEN,n%LEN)
        var ls = Nil:List[(Int,Int)]
        if(y > 0)     ls = (n-1,mtx(y-1)(x))::ls
        if(y < LEN-1) ls = (n+1,mtx(y+1)(x))::ls
        if(x > 0)     ls = (n-LEN,mtx(y)(x-1))::ls
        if(x < LEN-1) ls = (n+LEN,mtx(y)(x+1))::ls
        ls
    }

    println(dijkstra(SIZE,0,lst)(SIZE-1)+mtx(0)(0))
}