概率论与数理统计（学习笔记）——平平无奇的知识点

概率论与数理统计

第一章：随机事件及其计算

自然现象：确定性现象

随机现象：事先不能准确预知其结果的现象。

1.1、单位名称

样本点（ω）：实验中可能出现的基本结果

样本空间（Ω）： 全部样本点构成的集合

随机时间（A）：由一个或多个样本点构成的集合

必然事件（Ω）：必然发生的事件

不可能事件（∅）：不可能发生的事件

事件发生是指在事件当中某一个样本点发生了，通常指事情出现了

注：

样本空间和必然事件都用一样的符号表示，是因为样本空间的符号是Ω，在样本空间里面讨论一个个事情，它们是必然会发生的，那么这个必然发生的事情就是一个样本点，而样本点就是构成样本空间的基本元素。

1.1.1、数字符号对比：

数学符号	概率论	集合论
Ω	样本空间、必然事件	全集
ω	样本点	元集
A,B,C……	随机事件	子集
∅	不可能事件	空集

1.1.2、习题

1、抛掷一枚均匀的筛子，观察出现的点数

Ω1={1,2,3,4,5,6}  #列举法

2、某超市一天内来到的顾客数：

Ω2={0,1,2,3,4……}  #按自然数排列，整数

3、在一批灯泡中任取一只，测试他的寿命

Ω3={t:t>=0}  #描述法，整体的区间

集合的表示方法：

1. 描述法
2. 列举法
3. 列表

1.1.3、符号的读法

符号	读法
Ω	o_mi_ga
ω	o_mi_ga

1.2、事件的关系和运算

1.2.1、事件的包含与相等

概念： 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A ，记作，B⊃A 或 A⊂B .

A小B大。

解释： 事件A发生，那么事件B一定发生，可以理解为：只要A发生，B也会发生 。那么，A就是B的一部分，B包含着A。

例如：某KTV招男服务员要求：只要身高符合，样貌合格，就可以招聘。

A：身高符合

B：样貌合格

C：可以招聘

在这个例子中我们可以把三个事件命名为：事件A 、事件B、事件C ，当事件C发生时，那么事件A和事件B就一定会发生，所以可以表示： C ⊃ A ,C ⊃ B 。

注： 若事件A包含事件B，事件B也包含事件A ，则称A=B。

1.2.2、事件的和（并）

概念： 事件A和事件B至少发生其一的事件称为事件A与B的和事件（或并事件），记作A∪B或者 B∪A 。

解释： 在某一个样本空间Ω中，有两个事件，这两个事件只要有一个发生了，那么就称事件A并事件B。

也可理解为：一个事件 C 的必然结果是由其他两个事件A和B中任意一个发生后而产生的，就称C=A∪B。

例如：某娱乐场所的游玩标准是：体重合格、身高合格

A：体重不合格

B：身高不合格

C：谢绝游玩

上例中，事件A或者事件B任意一个发生，那么事件C就不会发生了，所以记作：C=A∪B 。

1.2.3、事件的积

概念： 事件A和事件B同时发生的事件称为事件A与B的积事件，记作 AB 或A∩B

解释： 一个事件C的必然结果是由其他两个事件A和B共同发生后而产生的，就称 C=A∩B

例如：小美要男朋友，还要又帅有有钱的。

A：长得帅气

B：非常有钱

C：成为小美的男朋友

上例中，事件C如果想要发生，那么事件A与事件B必须同时发生，所以记作：C=A∩B 。

1.2.4、事件的互斥

概念： 若事件A和事件B不可能同时发生，即AB=∅，则称事件A与B互为互斥事件，或互不相容事件。

理解： 事件A与事件B不能同时发生。

那么在样本空间Ω中，事件A与事件B不能同时存在。

例如：小明掉了一头羊在河里，这时有位老神仙飘了出来问他：“年轻的小伙子呀，你说你是要这头金色的羊还是要这头银色的羊，还是要这头普通的羊呢？”

A：选择金色的羊

B：选择银色的羊

C：选择普通的羊

D：扶我上岸

上例中，事件A 与事件B不能同时发生，只能选择其一，所以记作：A∩B= ∅ 或 AB= ∅。

1.2.5、事件的互逆（对立）

概念 ： 若A∪B=Ω, 则称事件A与B为互逆事件，或对立事件，把A的对立事件记作 “A拔” .

理解：是指一个样本空间里，只有唯一的一个事件在样本空间Ω里发生，并且这些唯一能发生的事件共同组成了样本空间Ω，每次考虑样本点都应把所有的事件都考虑到里面。

例如：小白的老婆和老妈同时掉河里了，小白必须救一个。

A：救老婆

B：救老妈

上例中，事件A与事件B共同组成了一个样本空间，并且这个空间只能从其中选取一件事来做，所以记作：A∪B= Ω 。

注：对立一定互斥，互斥不一定对立。

• 解释：对立的事件共同组成了一个样本空间，里面的事件只能发生一个；而互斥的事件可以有其他的与研究的样本点无关的事件，所以 互斥的事件不一定是对立的。

1.2.6、事件的差

概念：事件A发生而事件B不发生的事件称为A与B的差事件，记作A-B。

理解 ：A与B相交，A除去相交的部分，就是A-B，也可以写成A-AB，同时也可以写成 A − A B ‾ A-A\overline{B} A−AB,再者还可以看做；再如，A中包含B，那么A-B就是A与B的差。

推广： A ‾ = Ω − A \overline{A}=Ω-A A=Ω−A , 假设在样本空间Ω里有事件A， A ‾ \overline{A} A就是整个样本空间减去事件A。

1.2.7、事件的运算律

• 交换律

  A ⋃ B = B ⋃ A A ⋂ B = B ⋂ A A\bigcup{B}=B\bigcup{A}\\A\bigcap{B=B\bigcap{A}} A⋃B=B⋃AA⋂B=B⋂A

• 结合律

  A ⋃ ( B ⋃ C ) = ( A ⋃ B ) ⋃ C A ⋂ ( B ⋂ C ) = ( A ⋂ B ) ⋂ C A\bigcup(B\bigcup{C})=(A\bigcup{B})\bigcup{C}\\A\bigcap{(B\bigcap{C})}=(A\bigcap{B})\bigcap{C} A⋃(B⋃C)=(A⋃B)⋃CA⋂(B⋂C)=(A⋂B)⋂C

• 分配率

  A ⋂ ( B ⋃ C ) = ( A ⋂ B ) ⋃ ( A ⋂ C ) A ⋃ ( B ⋂ C ) = ( A ⋃ B ) ⋂ ( A ⋃ C ) A\bigcap(B\bigcup{C})=(A\bigcap{B})\bigcup(A\bigcap{C})\\A\bigcup(B\bigcap{C})=(A\bigcup{B})\bigcap{(A\bigcup{C})} A⋂(B⋃C)=(A⋂B)⋃(A⋂C)A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C)

• 对偶率

  A ⋂ B ‾ = A ‾ ⋃ B ‾ \overline{A\bigcap{B}}=\overline{A}\bigcup{\overline{B}} A⋂B​=A⋃B

  ⋃ i = 1 n A i ‾ = ⋂ i − 1 n A i ‾ \overline{\bigcup\limits_{i=1}^n A_i}=\bigcap\limits_{i-1}^n\overline{A_i} i=1⋃n​Ai​​=i−1⋂n​Ai​​

  ⋂ i = 1 n ‾ A i = ⋃ i = 1 n A i ‾ \overline{\bigcap\limits_{i=1}^n}A_i=\bigcup\limits_{i=1}^n\overline{A_i} i=1⋂n​​Ai​=i=1⋃n​Ai​​

1.3、随机事件的概率及性质

1.3.1、统计定义

频率公式： ω ( Ω ) = m n \omega(\Omega)=\frac{m}{n} ω(Ω)=nm​ ,m为随机事件 ，n为实验次数。

概率的定义：概率是描述事件发生的可能性大小的数值，是客观存在的值

概率的统计定义：当实验次数n增大时， ω ( A ) \omega(A) ω(A)稳定与p , P(A)=p，当n很大是用时频率值表示概率值。 P ( A ) ≈ ω ( A ) P(A)\approx\omega(A) P(A)≈ω(A)

频率的性质：

1. 对于任意事件A， 0 ≤ ω ( A ) ≤ 1 0\leq\omega(A)\leq 1 0≤ω(A)≤1
2. 必然发生事件 ： ω ( Ω ) = 1 \omega(\Omega)=1 ω(Ω)=1 偶然凡是的事件： ω ( ∅ ) = 0 \omega(\varnothing)=0 ω(∅)=0
3. 设 A 1 , A 2 , ⋯   , A k A_1,A_2,\cdots,A_k A1​,A2​,⋯,Ak​是两两互斥的事件，则 ω ( A 1 + A 2 + ⋯ + A k ) = ω ( A 1 ) + ω ( A 2 ) + ⋯ + ω ( A k ) \omega(A_1+A_2+\cdots+A_k)=\omega(A_1)+\omega(A_2)+\cdots+\omega(A_k) ω(A1​+A2​+⋯+Ak​)=ω(A1​)+ω(A2​)+⋯+ω(Ak​)

概率的性质：

当实验次数n很大时频率就趋近于概率

1. 对于任意事件A， 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 0\leq P(A)\leq 1 0≤P(A)≤1
2. 必然发生事件 ： P ( Ω ) = 1 P(\Omega)=1 P(Ω)=1 偶然凡是的事件： P ( ∅ ) = 0 P(\varnothing)=0 P(∅)=0
3. 设 A 1 , A 2 , ⋯   , A k A_1,A_2,\cdots,A_k A1​,A2​,⋯,Ak​是两两互斥的事件，则 P ( A 1 + A 2 + ⋯ + A k ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ⋯ + P ( A k ) P(A_1+A_2+\cdots+A_k)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_k) P(A1​+A2​+⋯+Ak​)=P(A1​)+P(A2​)+⋯+P(Ak​)

统计定义的缺点 :需要做大量重复的实验，不便于实际应用。不够严密精确，不便理论应用。

统计定义的优点 ：直观易懂，适用于未知的情况。

1.3.2、古典定义

古典概型

概率论研究史：

最先研究：

• 有限性：样本空间所含基本事件数目有限

• 等可能性：每个基本事件发生的可能性相同

  例如：抛硬币、掷骰子

因最先研究的是这类的概率问题，所以称为 “古典概型”。

古典定义：

定义:设随机实验E是含有n个基本事件的古典概型，事件A包含m个基本事件，那么：
P ( A ) = m n = A 中 所 包 含 的 事 件 的 个 数 Ω 中 所 包 含 的 事 件 的 个 数 P(A)=\frac{m}{n}=\frac{A中所包含的事件的个数}{\Omega中所包含的事件的个数} P(A)=nm​=Ω中所包含的事件的个数A中所包含的事件的个数​
是事件A发生的概率。

使用方法:

1. 判断事件是否是古典定义事件

   • 有限性

   • 等可能性

     判断它的选择均衡性、几何对称性

2. 判断出来属于古典概型后，求出m,n即可。

   样本点小的话，直接列举出来，样本点大的话运用排列组合的方法。

例题分析：

例一把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，事件A表示出现两个正面，事件B表示出现两个相同的面，求P(A)和P(B)。

解： Ω = { ( 正 、 正 ) （ 正 、 反 ） （ 反 、 反 ） （ 反 、 正 ） } \Omega =\lbrace(正、正)（正、反）（反、反）（反、正）\rbrace Ω={(正、正)（正、反）（反、反）（反、正）}

​ A = { ( 正 、 正 ) } A=\lbrace (正、正)\rbrace A={(正、正)}

​ B = { （ 正 、 正 ） （ 反 、 反 ） } B=\lbrace（正、正）（反、反）\rbrace B={（正、正）（反、反）}

n = 4 , m a = 1 , m 2 = 2 n=4,m_a=1,m_2=2 n=4,ma​=1,m2​=2

P ( A ) = m a n = 1 4 P(A)=\frac{m_a}{n}=\frac{1}{4} P(A)=nma​​=41​

P ( B ) = m b n = 2 4 P(B)=\frac{m_b}{n}=\frac{2}{4} P(B)=nmb​​=42​

例二： 一批产品共10件，其中6件正品，4件次品，求下列事件的概率。

1. A 1 A_1 A1​={从中任取5件，恰有2件次品}
2. A 2 A_2 A2​={从中依次取5件，恰有2件次品}
3. A 3 A_3 A3​={从中有放回地取5件，恰有2件次品}

解：

1. 满足有限性和等可能性，所以是古典概型，因为是从10件产品中任取5件，所以它的全部组合为 C 10 5 C^5_{10} C105​ ,而“从中任取5件，恰有2件次品”的言外之意是“取了2件次品和3件正品”，它们的全部排列组合是 C 4 2 C 6 3 C^2_4 C^3_6 C42​C63​ 。

   所以我们得到 ： P ( A 1 ) = C 4 2 C 6 3 C 10 5 = 10 21 = 0.4762 P(A_1)=\frac{C^2_4 C^3_6}{C^5_{10}}=\frac{10}{21}=0.4762 P(A1​)=C105​C42​C63​​=2110​=0.4762

   注： A m n = m ! ( m − n ) ! A^n_m=\frac{m!}{(m-n)!} Amn​=(m−n)!m!​ , C n m = A n m m ! C^m_n=\frac{A^m_n}{m!} Cnm​=m!Anm​​

2. 分析：

   1. 从10件产品中依次取出5件，是有顺序的取出，所以用到了排列 A ，有 A 6 5 A^5_6 A65​种取出方法。
   2. ，4件次品中有顺序的取2件所以是 A 4 2 A^2_4 A42​ ,6件正品中有顺序的取3件是 A 6 3 A^3_6 A63​ ，次品和正品的内部做了排列，它们之间还要组合一下，乘以 C 5 2 C^2_5 C52​或者 C 5 3 C^3_5 C53​ .

   所以： P ( A 2 ) = A 4 2 A 6 3 C 5 2 A 10 5 = 12 × 120 × 10 10 × 9 × 8 × ⋯ × 1 = 10 21 P(A_2)=\frac{A^2_4A^3_6C^2_5}{A^5_{10}}=\frac{12\times120\times10}{10\times 9\times 8\times\cdots\times1}=\frac{10}{21} P(A2​)=A105​A42​A63​C52​​=10×9×8×⋯×112×120×10​=2110​

3. 分析：

   1. 10件产品有放回的取5件，5次抽取每次都面临10种选择，所以是 1 0 5 10^5 105 .
   2. 4件次品又放回的取2件，是 4 2 4^2 42 ;6件正品有放回的取3件是 6 3 6^3 63
   3. 有放回的排列，也要考虑组合，所以它们还有乘以 C 5 3 C^3_5 C53​或$$C^2_5

   所以： P ( A 3 ) = 4 2 6 3 1 0 5 = 16 × 216 100000 = 0.3456 P(A_3)=\frac{4^26^3}{10^5}=\frac{16\times216}{100000}=0.3456 P(A3​)=1054263​=10000016×216​=0.3456

1.3.3、几何定义

问题引入

李大爷和李大妈夫妻一直喜欢在上午9点到10点去上街，公交车1路和2路到达他家的门口时间分别是9:00和9:03，公交车没10分钟发车一次。

问：

1. 乘坐1路车的概率是？
2. 乘坐2路车的概率是？

分析：

9点到10点共60分钟，1路到的次数是7次，2路到的次数是6次，它们每次相差3分钟，在60分钟这条时间段上，3分钟时间是乘坐2路车的概率，10-3=7分钟时间是乘坐1路车的概率

所以，乘坐1路程概率为70% ,2路车的概率是30%

推广：

• 当样本空间为区间线段的时候，概率值是区间长度之比
• 当样本空间为平面区域时，概率值是区域面积之比
• 当样本空间为空间区域时，概率值是区域体积之比

几何定义

几何概型定义：

• 可度量性：样本空间是几何空间的一个可度量区域
• 等可能性：任意一点罗子昂度量相同的子区域内时等可能的。

定义：设随机实验E是几何概型， Ω \Omega Ω为样本空间，事件A是可度量的，并且 A ⊂ Ω A\subset\Omega A⊂Ω ,则定义：
P ( A ) = A 的 度 量 （ 长 度 、 面 积 、 体 积 ） Ω 的 度 量 （ 长 度 、 面 积 、 体 积 ） P(A)=\frac{A的度量（长度、面积、体积）}{\Omega的度量（长度、面积、体积）} P(A)=Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积、体积）​
为事件A发生的概率。

例题分析

例题：

小王和小李一个在基地正北边10公里的地方，一个在基地正东边8公里的地方，它们都向基地行驶，对讲机的通话范围是7公里，求他们能用对讲机交流的概率。

分析：

1. 可以看做正东为8 ，正北为10 ，当不设范围圆的时候他们相交的概率不好算。
2. 设基地为圆心，通讯距离7为半径，10和8位矩形范围，那么他们的通讯概率就是四分之一的圆除以矩形面积

所以：

设小王距离基地为x公里，小李距离基地为y公里，那么：

Ω = { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x ≤ 10 , 0 ≤ y ≤ 8 } \Omega=\lbrace(x,y)|0\le x \le 10,0\le y \le 8\rbrace Ω={(x,y)∣0≤x≤10,0≤y≤8}

A = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ≤ 7 , x ≥ 0 , y ≥ 0 } A=\lbrace(x,y)|\sqrt{x^2+y^2}\le7,x\ge0,y\ge0\rbrace A={(x,y)∣x2+y2 ​≤7,x≥0,y≥0}

P ( A ) = S A S Ω = 1 4 × π × 7 2 10 × 8 P(A)=\frac{S_A}{S_\Omega}=\frac{\frac{1}{4}\times\pi\times7^2}{10\times8} P(A)=SΩ​SA​​=10×841​×π×72​=48.1%