NOIP2013 货车运输 [LCA+最大生成树]

Description

A 国有 n 座城市，编号从 1 到 n，城市之间有 m 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。现在有 q 辆货车在运输货物， 司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。

Input

输入文件第一行有两个用一个空格隔开的整数 n<10,000，m<50,000，表示 A 国有 n 座城市和 m 条道路。 接下来 m 行每行 3 个整数 x、 y、 z，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从 x 号城市到 y 号城市有一条限重为 z 的道路。
接下来一行有一个整数 q<30,000，表示有 q 辆货车需要运货。
接下来 q 行，每行两个整数 x、y，之间用一个空格隔开，表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市。

Output

输出共有 q 行，每行一个整数，表示对于每一辆货车，它的最大载重是多少。如果货车不能到达目的地，输出-1。

Example

Input :
4 3
1 2 4
2 3 3
3 1 1
3
1 3
1 4
1 3

Output :
3
-1
3

思路

首先便是想到了Floyd的暴力方法，状态转移方程也不难推出：w[i][j]=min(w[i][j], w[i][k]+w[k][j]);但是n^3次方时间复杂度和n^2的空间复杂度是显然不可取的。

于是我们思考，可以发现有一些权值较小的边是不会被走过的。正如样例中的第三条边，就算有其他的很多条边，这条边无论如何也是不会被走过的。于是我们想到了可以将图中这样的边去掉，按照这个思路我们便想到了构造最大生成树，将其余的边去除。

得到了这样一个树之后，我们便考虑如何求出两个节点之间最小边权的最大值（即为题中的最大载重），因为这两点之间的路径是唯一的，我们只需要找出这条路径便可以得到答案。我们可以通过LCA来做到这一点，我求LCA的方法是先从每一个根节点进行搜索，求出节点深度等信息，然后利用这些信息进行树上倍增。

于是我们可以得出大体思路：首先重新建图，构造出最大生成树，然后在最大生成树上求LCA来回答询问。

代码

#include<cstdio>  
#include<algorithm>  
#include<cstring>  
#include<iostream>  
#define MAXN 10005 
#define INF 999999999
using namespace std; 
struct Edge1{  
    int x,y,dis;
}edge1[50005]; //题目所给的图 
struct Edge2{
    int to,next,w;
}edge2[100005]; //最大生成树的图 
int cnt,n,m,head[MAXN],deep[MAXN],f[MAXN],fa[MAXN][21],w[MAXN][21];
//f数组表示并查集中的父节点，fa数组表示树上的父节点，w数组表示最大载重 
bool vis[MAXN]; 

void addedge(int from, int to, int w)
{ //前向星存图 
    edge2[++cnt].next=head[from];
    edge2[cnt].to=to;
    edge2[cnt].w=w;
    head[from]=cnt;
    return ;
}

bool CMP(Edge1 x, Edge1 y)
{
    return x.dis>y.dis; //将边权从大到小排序 
}

int find(int x){  //并查集寻找父节点 
    if(f[x]!=x) f[x]=find(f[x]);
    return f[x];
}

void kruskal()
{
    sort(edge1+1, edge1+m+1, CMP); 
    for(int i=1; i<=n; i++)
        f[i]=i;  //并查集初始化 
    for(int i=1; i<=m; i++)
        if(find(edge1[i].x)!=find(edge1[i].y)){
            f[find(edge1[i].x)]=find(edge1[i].y);
            addedge(edge1[i].x, edge1[i].y, edge1[i].dis);
            addedge(edge1[i].y, edge1[i].x, edge1[i].dis);  //无向图，双向加边 
        }
    return ;
}

void dfs(int node)
{
    vis[node]=true;
    for(int i=head[node]; i; i=edge2[i].next){ //前向星遍历 
        int to=edge2[i].to;
        if(vis[to]) continue;
        deep[to]=deep[node]+1; //计算深度 
        fa[to][0]=node; //储存父节点 
        w[to][0]=edge2[i].w; //储存到父节点的权值 
        dfs(to);
    }
    return ;
}

int lca(int x, int y)
{
    if(find(x)!=find(y)) return -1; //不连通，输出-1 
    int ans=INF;
    if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y); //保证y节点更深 
    //将y节点上提到于x节点相同深度 
    for(int i=20; i>=0; i--)
        if(deep[fa[y][i]]>=deep[x]){
            ans=min(ans, w[y][i]);  //更新最大载重（最小边权） 
            y=fa[y][i]; //修改y位置 
        }
    if(x==y) return ans; //如果位置已经相等，直接返回答案 
    //寻找公共祖先 
    for(int i=20; i>=0; i--)
        if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
            ans=min(ans, min(w[x][i], w[y][i])); //更新最大载重（最小边权）
            x=fa[x][i]; 
            y=fa[y][i]; //修改x,y位置 
        }
    ans=min(ans, min(w[x][0], w[y][0]));
    //更新此时x,y到公共祖先最大载重，fa[x][0], fa[y][0]即为公共祖先 
    return ans;
}

int main()
{
    int x,y,z,q;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=m; i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        edge1[i].x=x;
        edge1[i].y=y;
        edge1[i].dis=z;
    } //储存题目所给图 
    kruskal();
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(!vis[i]){ //dfs收集信息 
            deep[i]=1; 
            dfs(i);
            fa[i][0]=i;
            w[i][0]=INF;
        }
    //LCA初始化 
    for(int i=1; i<=20; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++){
            fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1]; 
            w[j][i]=min(w[j][i-1], w[fa[j][i-1]][i-1]);
        }
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1; i<=q; i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",lca(x,y)); //回答询问 
    }
    return 0;
}