AES加密之 有限域GF（2^n）算术 / xtime

有限域算术是AES加密算法的必备知识。

本文包括，定义，加法，乘法，总结。

定义

含有2ⁿ个元素的有限域，被称为GF(2ⁿ)。
GF(2ⁿ)也可以表示成多项式：f (x) = a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …… + a₁x + a₀
（a_i = 0，1）。
GF(2ⁿ)还可以表示成二进制数：（a_n-1，a_n-2，……，a₁，a₀）。

举两个栗子：GF(2³)
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多项式： x²+1
二进制数（101）

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多项式： x
二进制数（010）

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加法

系数运算以2为模，加法（减法）等于各项异或。

举两个栗子：
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多项式表示：(x + 1) + x = 1
二进制表示： (011) ⊕ (010) = (001)
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多项式表示： (x² + x + 1) + (x + 1) = x²
二进制表示： (111) ⊕ (011) = (100)

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乘法(重点）

• 乘法稍微复杂一点

举几个栗子：
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设在GF（2⁸）内计算，此域中最高次项为x⁷。
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乘法栗子1：
多项式表示： (x⁵+x⁴+x²+x+1) * x = (x⁶+x⁵+x³+x²+x)
二进制表示： (0011 0111) * (0000 0010) = (0110 1110) 【相当于左移一位】
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乘法栗子2：

多项式表示： (x⁵+x⁴+x²+x+1) * x² = (x⁶+x⁵+x³+x²+x) * x = (x⁷+x⁶+x⁴+x³+x²)
二进制表示： (0011 0111) * (0000 0100) = (1101 1100) 【相当于左移二位】
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乘法栗子3：
先找一个不可约多项式 m(x) = x⁸+x⁴+x³+x+1，后面详细解释m(x)
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多项式表示：
.(x⁵+x⁴+x²+x+1) * x³
= (x⁷+x⁶+x⁴+x³+x²) * x
= (x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x³) 【出现了x⁸，超出GF（2⁸），必须用模m(x)约化】
= (x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x³) mod m(x)
= (x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x³) mod (x⁸+x⁴+x³+x+1)
= x⁷+x⁵+x+1

二进制表示：
.(0011 0111) * (0000 0100)
= (1 1011 1000) 【等于左移三位，但它超过了8个位，需要取模】
= (1 1011 1000) mod（1 0001 1011）
= (1 1011 1000) ⊕ （1 0001 1011）
= (1010 0011)
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乘法栗子4：（综合例子）
多项式表示：
.(x⁵+x⁴+x²+x+1) * (x³ +x)
= (x⁵+x⁴+x²+x+1) * x³ +(x⁵+x⁴+x²+x+1) * x
= (x⁷+x⁵+x+1) + (x⁶+x⁵+x³+x²+x)
= x⁷+x⁶+x³+x²+1

解释下 m(x) 是哪来的？

博主只找到这个的解释，期待大佬解惑。

总之，m(x)是人为选取的。 O，O
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总结

加法 = 对位异或

乘法：

1. 乘完以后，结果不超过GF，直接乘。
2. 乘完以后，结果超过GF，再将结果与（1 0001 1011）异或。

注：多项式f * x 在计算机里可直接调用函数 xtime（f）。

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考研阶段，边学边写边复习，数学功底不好，如有错误和不足，欢迎指出。
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