[Hdp] lc188. 买卖股票的最佳时机 IV(状态机模型dp+线性dp+空间优化)

程序员文章站 2022-07-07 15:26:29

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文章目录

1. 题目来源

链接：lc188. 买卖股票的最佳时机 IV

2. 题目说明

[Hdp] lc188. 买卖股票的最佳时机 IV(状态机模型dp+线性dp+空间优化)

3. 题目解析

该股票问题：最多进行 k 笔交易，每笔交易不能重叠(指买入下支股票前需要将手中股票卖出)

股票问题四部曲：
[Edp] lc121. 买卖股票的最佳时机(dp)
[Edp] lc122. 买卖股票的最佳时机 II(dp+思维)
[Hdp] lc123. 买卖股票的最佳时机 III(dp+前后缀分解)
[Hdp] lc188. 买卖股票的最佳时机 IV(状态机模型dp+线性dp+空间优化)

前后缀分解，在该问题无法再继续应用。

dp 在这求取 k 次交易的最大收益情况。

注意： 这是个困难的 dp 问题

方法一：状态机模型dp

参考大佬题解

思路：

特判，如果 k ≥ n 2 k\ge \frac n 2 k≥2n 那么这就相当于交易无限次，那么就可以采用 [Edp] lc122. 买卖股票的最佳时机 II(dp+思维) 来进行求解了，求每个正区间累加即可
考虑一次交易所经历的阶段：
- 第一阶段：买入股票还没卖出
- 第二阶段：卖出股票
状态机定义： 用 0 表示交易完，所有手里没股票的状态，1 表示所有没交易完，手里有股票还没卖的状态
状态机起点： 第一天手里没有股票，走向状态 0
状态 0 分析： 如果我们不买股票，那么手里依旧没有股票，则状态转移从状态 0 转移到状态 0，且当前总钱数未发生改变，+0。同理，也可以买入股票，状态转移从状态 0 转移到状态 1，则表示我们买入股票，则当前总钱数需要 -wi
状态 1 分析： 如果我们不买股票，那么手里依旧没有股票，则状态转移从状态 1 转移到状态 1，且当前总钱数未发生改变，+0。同理，也可以卖出股票，状态转移从状态 1 转移到状态 0，则表示我们卖出股票，则当前总钱数需要 +wi
状态机终点： 状态机终点一定在手里没有股票的情况
最多交易 k 次： 等价于在两个状态之间最多只能转 k 次
问题转化为从起点出发最多转 k 圈的最大收益
状态表示：
- f[i][j] 表示第 i 天交易了 j 次股票，且当天不持有股票的最大收益
- g[i][j] 表示第 i 天交易了 j 次股票，且当天持有股票的最大收益
状态初始化：
- f[0][0] = 0, 其余均为 -inf
状态转移：
- f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] + w[i])
- g[i][j] = max(g[i - 1][j], f[i - 1][j - 1] - w[i])

总结： 这个问题超出我的能力范围了，考察了空间优化…即便总结完毕也只是勉强理解，搞不太懂，近期会刷大量的 dp 模板题及变种题，关于股票问题还会二刷补充。届时会根据状态机模型 dp 在算法专栏中进行分类刷题。

已经过不了的代码：

// 数据更新，十分卡常
class Solution {
public:
    const int INF = 1000000000;
    int maxProfitII(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        int f = 0, g = -INF;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int last_f = f, last_g = g;
            f = max(last_f, last_g + prices[i]);
            g = max(last_g, last_f - prices[i]);
        }
        return f;
    }
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        if (k >= n / 2)
            return maxProfitII(prices);

        vector<vector<int>> f(2, vector<int>(k + 1, -INF));
        vector<vector<int>> g(2, vector<int>(k + 1, -INF));
        f[0][0] = 0;

        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                f[i & 1][j] = f[i - 1 & 1][j];
                g[i & 1][j] = max(g[i - 1 & 1][j], f[i - 1 & 1][j] - prices[i - 1]);

                if (j > 0)		// 可以一次都不买，j从0开始，而不是从1开始
                    f[i & 1][j] = max(f[i & 1][j], g[i - 1 & 1][j - 1] + prices[i - 1]);
            }

        int ans = 0;
        for (int i = 0; i <= k; i++)
            ans = max(ans, f[n & 1][i]);

        return ans;
    }
};

优化一维状态代码：

// 将vector换成了数组，大概会快50%。
// 类似于背包问题优化空间，将原本的滚动二维数组，直接换成一维数组。

int f[10001], g[10001];

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int INF = 1e8;
        int n = prices.size();
        if (k > n / 2) {
            int res = 0;
            for (int i = 1; i < n; i ++ )
                if (prices[i] > prices[i - 1])
                    res += prices[i] - prices[i - 1];
            return res;
        }
        memset(f, -0x3f, sizeof f);
        memset(g, -0x3f, sizeof g);
        f[0] = 0;
        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = k; j >= 0; j -- ) {
                g[j] = max(g[j], f[j] - prices[i - 1]);
                if (j) f[j] = max(f[j], g[j - 1] + prices[i - 1]);
            }
        for (int i = 1; i <= k; i ++ ) res = max(res, f[i]);
        return res;
    }
};