Coursera-MachineLearning-LogisticRegression

Octave 代码
背景：使用逻辑回归预测学生是否会被大学录取。

% 1.读取训练集，并打印正负样本：

data = load('ex2data1.txt');
X = data(:, [1, 2]); 
y = data(:, 3);

plotData(X, y);

% 函数plotData：
function plotData(X, y)

figure; hold on;
% 打印正样本和负样本
positive = find(y == 1);
negative = find(y == 0);
plot(X(positive, 1), X(positive, 2), 'k+', 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 7);
plot(X(negative, 1), X(negative, 2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'y', 'MarkerSize', 7);

hold off;
end

hold on;
% Labels and Legend
xlabel('Exam 1 score')
ylabel('Exam 2 score')

legend('Admitted', 'Not admitted')
hold off;

% 2.计算代价函数J 和下降梯度

[m, n] = size(X);
X = [ones(m, 1) X];
initial_theta = zeros(n + 1, 1);

% 计算代价函数，使用初始化全为0的计算代价
[cost, grad] = costFunction(initial_theta, X, y);

% 函数costFunction：
function [J, grad] = costFunction(theta, X, y)

m = length(y); 
J = 0;
grad = zeros(size(theta));

% 计算代价和梯度grad，公式如下图：
J = -1 / m *(sum(y .* log(sigmoid(X * theta)) + (1 - y) .* log(1 - sigmoid(X * theta))));
grad =  1 / m * X' * (sigmoid(X * theta) - y);

end

fprintf('\nCost at test theta: %f\n', cost);
fprintf(' %f \n', grad);

% 再次计算代价函数，使用测试的theta：
test_theta = [-24; 0.2; 0.2];
[cost, grad] = costFunction(test_theta, X, y);
fprintf('\nCost at test theta: %f\n', cost);
fprintf(' %f \n', grad);

2.1 假设函数由来：
	逻辑回归是分类问题，若使用线性回归的假设函数，h(x)会不是确定的范围的值。
	如下图，h(x)>0.5 是 yes， h(x)<0.5 是 no，这里分界是0.5，但到其他问题分界线就会变

2.1.1 因此我们需要将结果缩到 [0,1] 中，这样方便判断，
	  分界线永远为0.5，函数值大于0.5就为yes，小于0.5为no
	  因此使用 sigmoid函数，并把之前线性回归的假设函数theta * x
	  带入：
	  这样 theta * x > 0，则 g(z) > 0.5，则 判断为1
	  	   theta * x < 0，则 g(z) < 0.5，则 判断为0
	  
	  因此 g(z) 即为逻辑回归的假设函数

2.2 代价函数J 由来
	若将上述假设函数 g(z) 带入线性回归的代价函数，得到的不是凸函数，
	即有很多局部最小值，不利于梯度下降：

2.2.1 因此不能用线性回归的代价函数了，用个新的：
	  这样是凸函数，然后合并一下：

2.2.3 上述就是逻辑回归的代价函数J，还可以优化一下，将各项的和用矩阵的方式
	  实现：

2.3 梯度下降的由来：
首先由梯度下降的一般公式，然后将代价函数带入，并对 theta 求偏导数，
再乘步长 a ：

% 3. 使用高级优化（Advanced Optimization）来更新 theta

% 'GradObj', -'on'：设置梯度目标参数为on打开状态
% 'MaxIter', -100：设置最大迭代次数400
options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);

% 运行 fminunc 就可以得到最佳 theta，并打印
% @是函数指针
[theta, cost] = fminunc(@(t)(costFunction(t, X, y)), initial_theta, options);

fprintf('Cost at theta found by fminunc: %f\n', cost);
fprintf(' %f \n', theta);

plotDecisionBoundary(theta, X, y);
hold on;
xlabel('Exam 1 score')
ylabel('Exam 2 score')
legend('Admitted', 'Not admitted')
hold off;

% 函数plotDecisionBoundary：
function plotDecisionBoundary(theta, X, y)

% 先打印训练集数据
plotData(X(:,2:3), y);
hold on

%这里不太懂怎么打印
% else后是打印便捷，先随机生成 -1到1.5 50个数字，
% 然后用mapFeatures生成 X1, X2, X1.^2, X2.^2, X1*X2, X1*X2.^2, etc..
% 足够特征后打印
if size(X, 2) <= 3
    plot_x = [min(X(:,2))-2,  max(X(:,2))+2];
    plot_y = (-1./theta(3)).*(theta(2).*plot_x + theta(1));
    plot(plot_x, plot_y)
    legend('Admitted', 'Not admitted', 'Decision Boundary')
    axis([30, 100, 30, 100])
else
    u = linspace(-1, 1.5, 50);
    v = linspace(-1, 1.5, 50);
    z = zeros(length(u), length(v));

    for i = 1:length(u)
        for j = 1:length(v)
            z(i,j) = mapFeature(u(i), v(j))*theta;
        end
    end
    
    z = z'; 
    contour(u, v, z, [0, 0], 'LineWidth', 2)
end
hold off
end

% 4.预测一波，并判断准确性

% 假设函数：hθ(x) = g(θ'x) = sgmoid(x * theta)
prob = sigmoid([1 45 85] * theta);
fprintf(['For a student with scores 45 and 85, we predict an admission ' ...
         'probability of %f\n'], prob);
fprintf('Expected value: 0.775 +/- 0.002\n\n');

% 基于训练集计算准确性
p = predict(theta, X);
fprintf('Train Accuracy: %f\n', mean(double(p == y)) * 100);