参数估计(二)

1.距估计步骤
已知

${ \alpha }_{ 1 }=E(X)\\ { \alpha }_{ 2 }=D(X)+{ [E(X)] }^{ 2 }$
${ A }_{ 1 }=\overline{X} \\ { A }_{ 2 }=\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { X }_{ i }^{ 2 } }$

例子:求总体均值$\mu=E(X)$与方差${\sigma}^{2}=D(X)$的矩估计量

(1)列出总体的前m阶原点矩
${\alpha}_{1}=E(X)=\mu$
${\alpha}_{2}=E({X}^{2})=D(X)+{ [E(X)] }^{ 2 }={ \sigma }^{ 2 } + { \mu }^{ 2 }$
(2)把需要求的参数用总体距表示出来:
$\mu={\alpha}_{1}$
${ \sigma }^{ 2 }={\alpha}_{2}-{{\alpha}_{1}}^{2}$
(3)用样本的各阶原点矩代替总体原点矩
$\hat { \mu } ={ A }_{ 1 }=\bar { X } \\ { \hat { \sigma } }^{ 2 }={ A }_{ 2 }-{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }=\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { X }_{ i }^{ 2 } }-{ \bar { X } }^{ 2 }={ S }^{ *2 }$

当给出概率密度函数的时候
总体的均值=[x*(概率密度函数)]的积分

离散型的
总体的均值=(各点值✖️各点概率)相加

2.极大似然估计步骤
离散型
各个实验结果对应的概率相乘即为似然函数
连续型

(1)写出似然函数
$L(\theta )=\begin{cases} \prod _{ i=1 }^{ n }{ f\left( { x }_{ i };{\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m} \right) } ,连续总体 \\ \prod _{ i=1 }^{ n }{ P\left( { { X }_{ i }=x }_{ i };{\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m} \right) ,离散总体 } \end{cases}$
(2)对似然函数取对数
$lnL(\theta )=\begin{cases} \prod _{ i=1 }^{ n }{ lnf\left( { x }_{ i };{\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m} \right) } ,连续总体 \\ \prod _{ i=1 }^{ n }{ lnP\left( { { X }_{ i }=x }_{ i };{\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m} \right) ,离散总体 } \end{cases}$
(3)建立似然方程,对m个$\theta$求偏导
$\frac { \partial lnL({\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m}) }{ \partial { \theta }_{ j } } =0,j=1,..,m$
(4)解出似然方程,求出最大的$\theta$,若不可微分,用其他方法.

鉴定估计的标准

无偏性
样本k阶原点距是总体k阶原点矩的无偏估计吗

$E({ A }_{ k })=\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { X }_{ i }^{ k } } =E({ X }_{ i }^{ k })=E({ X }^{ k })={ \alpha }_{ k }$

有效性

比较无偏性后,比较方差,
1.先算出两个估计量的方差

相合性
有效估计的均方误差准则

区间估计公式

(1)$\mu的区间估计$

$(\bar { X } -\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } { \mu }_{ \frac { \alpha }{ 2 } },\bar { X } +\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } { \mu }_{ \frac { \alpha }{ 2 } })$

${\sigma}^{2}未知时\mu的区间估计$

$(\bar { X } -\frac { { S }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }(n-1),\bar { X } +\frac { { S }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }(n-1))$

${\sigma}^{2}$的区间估计

$(\frac { (n-1){ { S }^{ * } }^{ 2 } }{ { \chi }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }^{ 2 }(n-1) } ,\frac { (n-1){ { S }^{ * } }^{ 2 } }{ { \chi }_{ 1-\frac { \alpha }{ 2 } }^{ 2 }(n-1) } )$

(2)${\mu}_{1}-{\mu}_{2}$的区间估计

$\left\{ (\bar { X } -\bar { Y } )\mp { \mu }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\sqrt { \frac { { \sigma }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } +\frac { { \sigma }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } } \right\}$

${ \sigma }_{ 1 }^{ 2 }={ \sigma }_{ 2 }^{ 2 }={ \sigma }^{ 2 }但{ \sigma }^{ 2 }未知$

$\left\{ (\bar { X } -\bar { Y } )\mp { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }({ n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 }-2){ S }_{ w }\sqrt { \frac { 1 }{ { n }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { n }_{ 2 } } } \right\}$
其中${ S }_{ w }=\sqrt { \frac { ({ n }_{ 1 }-1){ { S }_{ 1 }^{ * } }_{ { n }_{ 1 } }^{ 2 }+({ n }_{ 2 }-1){ { S }_{ 2 }^{ *2 } }_{ { n }_{ 2 } } }{ { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 }-2 } }$

${ \sigma }_{ 1 }^{ 2 }和{ \sigma }_{ 2 }^{ 2 }均未知,但{n}_{1}={n}_{2}=n$

$\left\{ \bar { Z } -\frac { { S }_{ Z }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }(n-1),\bar { Z } +\frac { { S }_{ Z }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }(n-1) \right\}$
其中$\bar { Z } =\bar { X } -\bar { Y },{ S }_{ Z }^{ * }=\sqrt { \frac { 1 }{ n-1 } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { ({ Z }_{ i }-\bar { Z } ) }^{ 2 } } }$

${ \sigma }_{ 1 }^{ 2 }/{ \sigma }_{ 2 }^{ 2 }$的区间估计

$\left\{ { F }_{ 1-\frac { \alpha }{ 2 } }({ n }_{ 2 }-1,{ n }_{ 1 }-1)\frac { { { S }_{ 1 }^{ * } }_{ { n }_{ 1 } }^{ 2 } }{ { { S }_{ 2 }^{ * } }_{ { n }_{ 2 } }^{ 2 } } ,{ F }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }({ n }_{ 2 }-1,{ n }_{ 1 }-1)\frac { { { S }_{ 1 }^{ * } }_{ { n }_{ 1 } }^{ 2 } }{ { { S }_{ 2 }^{ * } }_{ { n }_{ 2 } }^{ 2 } } \right\}$

非正态总体的区间估计

指数分布λ的区间估计

$\left\{ \frac { { \chi }_{ 1-\frac { \alpha }{ 2 } }^{ 2 }(2n) }{ 2n\bar { X } } ,\frac { { \chi }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }^{ 2 }(2n) }{ 2n\bar { X } } \right\}$

0-1分布的p区间估计

$\left\{ \frac { 1 }{ 2a } (b-\sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } ),\frac { 1 }{ 2a } (b+\sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } ) \right\}$

单侧区间估计

$\mu$的具有单侧置信区间下限的区间估计

$(\bar { X } -\frac { { S }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \alpha }(n-1),+\infty )$

$\mu$的具有单侧置信区间上限的区间估计

$(-\infty,\bar { X } +\frac { { S }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \alpha }(n-1))$

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