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拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用

程序员文章站 2022-07-05 18:39:01
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  插值,不论在数学中的数值分析中,还是在我们实际生产生活中,都不难发现它的身影,比如造船业和飞机制造业中的三次样条曲线。那么,什么是插值呢?我们可以先看一下插值的定义,如下:

  (定义)如果对于每个1in,P(xi)=yi,则称函数y=P(x)插值数据点(x1,y1),...,(xn,yn).

   插值的定义无疑是清楚明了的,而在众多的数学函数中,多项式无疑是最简单,最常见的函数,关于它的理论研究也最为透彻。因此,我们可以不妨先考虑利用多项式来进行插值。那么,这样的多项式是否总是存在呢?答案是肯定的,因为我们有如下定理:

  (多项式插值定理)令(x1,y1),...,(xn,yn)是平面中的n个点,各xi互不相同。则有且仅有一个n1次或者更低的多项式P满足P(xi)=yi,i=1,2,...,n.

  证明:先用归纳法证明存在性,再证明唯一性。
  当n=1时,常函数(0次)P1(x)=y1即符合要求。假设当n1时存在一个次数n2的多项式Pn1,使得Pn1(xi)=yi,i=1,2,...,n1.则令Pn(x)=Pn1(x)+c(xx1)(xx2)...(xxn1)(xxn),其中c为待定系数,利用Pn(xn)=yn即可求出待定系数c.此时,Pn(xi)=yi,i=1,2,...,n,Pn(x)的次数n1.这样就证明了存在性。
  其次证明唯一性。假设存在两个这样的多项式,设为P(x)Q(x),它们次数n1且都插值经过n个点,即P(xi)=Q(xi)=yi,i=1,2,...,n.H(x)=P(x)Q(x),H的次数也n1,且有n个不同的根x1,x2,...,xn.因此,由多项式基本定理可知,H(x)为0多项式,即恒等于0,故有P(x)=Q(x).这样就证明了存在性。
  证毕。

  有了以上定理,我们可以放心地使用多项式进行插值,同时,通过上述定理,我们可以用归纳法来构造此多项式,但是,这样的方法难免复杂麻烦。于是,天才的法国数学家拉格朗日(Lagrange)创造性地发明了一种实用的插值多项式方法来解决这个问题,那么,他的方法是怎么样的?
  一般来说,如果我们有n个点(x1,y1),...,(xn,yn),各xi互不相同。对于1到n之间的每个k,定义n1次多项式

Lk(x)=(xx1)..(xxk1)(xxk+1)...(xxn)(xkx1)..(xkxk1)(xkxk+1)...(xkxn)

Lk(x)具有有趣的性质:Lk(xk)=1,Lk(xj)=0,jk.然后定义一个n1次多项式
Pn1(x)=y1L1(x)+...+ynLn(x).

这样的多项式Pn1(x)满足Pn1(xi)=yi,i=1,2,...,n.这就是著名的拉格朗日插值多项式!
  以上就是拉格朗日插值多项式的理论介绍部分,接下来我们就要用Python中的Sympy模块来实现拉格朗日插值多项式啦~~
  实现拉格朗日插值多项式的Python代码如下:

from sympy import *

def Lagrange_interpolation(keys, values):
    x = symbols('x')
    t = len(keys)
    ploy = []
    for i in range(t):
        lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
        item = '*'.join(lst)
        ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
    ploy = '+'.join(ploy)

    return factor(expand(ploy))

def main():
    #example 1, interpolate a line 
    x_1 = [1,2]
    y_1 = [3,5]
    if len(x_1) != len(y_1):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_1,y_1))

    #example 2, interpolate a parabola
    x_2 = [0,2,3]
    y_2 = [1,2,4]
    if len(x_2) != len(y_2):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_2,y_2))

    #example 3
    x_3 = [0,1,2,3]
    y_3 = [2,1,0,-1]
    if len(x_3) != len(y_3):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_3,y_3))

main()

函数Lagrange_interpolation()具体实现了拉格朗日插值多项式,参数(keys, values)为list形式的点对,在main()函数中举了三个Lagrange_interpolation()函数的应用实例,一个是插值两个点,即直线,一个是插值三个点,即抛物线,一个是插值四个点,但结果却是一次多项式。该程序的运行结果如下:


拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用

  接下来,我们将介绍一个拉格朗日插值多项式的应用,即求
1k+2k+...+xk

的求和公式,其中x,k为正整数。分析如下:
  首先,该求和公式应当是一个至多为k+1次的关于x的多项式。然后,我们可以通过取k+2个不同的点,利用拉格朗日插值多项式的办法来求解,这k+2个不同的点的横坐标可以取x=1,2,...,k+2,在求出其对应的纵坐标的值。
  以下代码分别求出k=1,2,...,50的求和公式,并将其插入到Redis中。

from sympy import *
import redis

def Lagrange_interpolation(keys, values):
    x = symbols('x')
    t = len(keys)
    ploy = []
    for i in range(t):
        lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
        item = '*'.join(lst)
        ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
    ploy = '+'.join(ploy)

    return factor(expand(ploy))

def degree_of_sum(k):
    x_list, y_list = [], []
    degree = k    # degree=k in expression of  1^k+2^k+...+x^{k}
    cul_sum = 0
    for i in range(1,degree+3):
        x_list.append(i)
        cul_sum += i**degree
        y_list.append(cul_sum)
    return Lagrange_interpolation(x_list,y_list)

def main(): 
    r = redis.Redis(host='localhost', port=6379,db=0)
    for k in range(1,51):
        expression = str(degree_of_sum(k))
        r.hset('sum_%s'%k,'degree',str(k))
        r.hset('sum_%s'%k,'expression',expression)
        print('Degree of %d inserted!'%k)

main()

运行以上程序,结果如下:


拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用

在Redis中的储存结果如下:

拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用

我们可以具体查看当k=2时的求和公式,如下:

拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用

  这样我们就介绍完了一个拉格朗日插值多项式的应用了。看了上面的介绍,聪明又机智的你是否能想到更多拉格朗日插值多项式的应用呢?欢迎大家交流哦~~
  新的一年,新的气象,就从这一篇开始~~

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