拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用
插值,不论在数学中的数值分析中,还是在我们实际生产生活中,都不难发现它的身影,比如造船业和飞机制造业中的三次样条曲线。那么,什么是插值呢?我们可以先看一下插值的定义,如下:
(定义)如果对于每个,则称函数插值数据点.
插值的定义无疑是清楚明了的,而在众多的数学函数中,多项式无疑是最简单,最常见的函数,关于它的理论研究也最为透彻。因此,我们可以不妨先考虑利用多项式来进行插值。那么,这样的多项式是否总是存在呢?答案是肯定的,因为我们有如下定理:
(多项式插值定理)令是平面中的个点,各互不相同。则有且仅有一个次或者更低的多项式满足
证明:先用归纳法证明存在性,再证明唯一性。
当时,常函数(0次)即符合要求。假设当时存在一个次数的多项式,使得则令,其中为待定系数,利用即可求出待定系数.此时,且的次数.这样就证明了存在性。
其次证明唯一性。假设存在两个这样的多项式,设为和,它们次数且都插值经过个点,即令,的次数也,且有个不同的根.因此,由多项式基本定理可知,为0多项式,即恒等于0,故有.这样就证明了存在性。
证毕。
有了以上定理,我们可以放心地使用多项式进行插值,同时,通过上述定理,我们可以用归纳法来构造此多项式,但是,这样的方法难免复杂麻烦。于是,天才的法国数学家拉格朗日(Lagrange)创造性地发明了一种实用的插值多项式方法来解决这个问题,那么,他的方法是怎么样的?
一般来说,如果我们有个点,各互不相同。对于1到n之间的每个,定义次多项式
具有有趣的性质:然后定义一个次多项式
这样的多项式满足这就是著名的拉格朗日插值多项式!
以上就是拉格朗日插值多项式的理论介绍部分,接下来我们就要用Python中的Sympy模块来实现拉格朗日插值多项式啦~~
实现拉格朗日插值多项式的Python代码如下:
from sympy import *
def Lagrange_interpolation(keys, values):
x = symbols('x')
t = len(keys)
ploy = []
for i in range(t):
lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
item = '*'.join(lst)
ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
ploy = '+'.join(ploy)
return factor(expand(ploy))
def main():
#example 1, interpolate a line
x_1 = [1,2]
y_1 = [3,5]
if len(x_1) != len(y_1):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_1,y_1))
#example 2, interpolate a parabola
x_2 = [0,2,3]
y_2 = [1,2,4]
if len(x_2) != len(y_2):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_2,y_2))
#example 3
x_3 = [0,1,2,3]
y_3 = [2,1,0,-1]
if len(x_3) != len(y_3):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_3,y_3))
main()
函数Lagrange_interpolation()具体实现了拉格朗日插值多项式,参数(keys, values)为list形式的点对,在main()函数中举了三个Lagrange_interpolation()函数的应用实例,一个是插值两个点,即直线,一个是插值三个点,即抛物线,一个是插值四个点,但结果却是一次多项式。该程序的运行结果如下:
接下来,我们将介绍一个拉格朗日插值多项式的应用,即求
的求和公式,其中为正整数。分析如下:
首先,该求和公式应当是一个至多为k+1次的关于的多项式。然后,我们可以通过取k+2个不同的点,利用拉格朗日插值多项式的办法来求解,这k+2个不同的点的横坐标可以取,在求出其对应的纵坐标的值。
以下代码分别求出的求和公式,并将其插入到Redis中。
from sympy import *
import redis
def Lagrange_interpolation(keys, values):
x = symbols('x')
t = len(keys)
ploy = []
for i in range(t):
lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
item = '*'.join(lst)
ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
ploy = '+'.join(ploy)
return factor(expand(ploy))
def degree_of_sum(k):
x_list, y_list = [], []
degree = k # degree=k in expression of 1^k+2^k+...+x^{k}
cul_sum = 0
for i in range(1,degree+3):
x_list.append(i)
cul_sum += i**degree
y_list.append(cul_sum)
return Lagrange_interpolation(x_list,y_list)
def main():
r = redis.Redis(host='localhost', port=6379,db=0)
for k in range(1,51):
expression = str(degree_of_sum(k))
r.hset('sum_%s'%k,'degree',str(k))
r.hset('sum_%s'%k,'expression',expression)
print('Degree of %d inserted!'%k)
main()
运行以上程序,结果如下:
在Redis中的储存结果如下:
我们可以具体查看当时的求和公式,如下:
这样我们就介绍完了一个拉格朗日插值多项式的应用了。看了上面的介绍,聪明又机智的你是否能想到更多拉格朗日插值多项式的应用呢?欢迎大家交流哦~~
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