【递推】codeforces1140E Palindrome-less Arrays

程序员文章站 2022-07-05 14:50:42

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1140E Palindrome-less Arrays

Let’s denote that some array b is bad if it contains a subarray bl,bl+1,…,br of odd length more than 1 (l<r and r−l+1 is odd) such that ∀i∈{0,1,…,r−l} bl+i=br−i.

If an array is not bad, it is good.

Now you are given an array a1,a2,…,an. Some elements are replaced by −1. Calculate the number of good arrays you can obtain by replacing each −1 with some integer from 1 to k.

Since the answer can be large, print it modulo 998244353.

Input
The first line contains two integers n and k (2≤n,k≤2⋅105) — the length of array a and the size of “alphabet”, i. e., the upper bound on the numbers you may use to replace −1.

The second line contains n integers a1,a2,…,an (ai=−1 or 1≤ai≤k) — the array a.

Output
Print one integer — the number of good arrays you can get, modulo 998244353.

有一个重要的事实——这个数列没有奇数项的回文串，等价于它没有三项的回文串，也就是说 $a[i-1] \not = a[i+1],(1<i<n)$ 。为了更方便地化解问题，我们把题目给出的a数列按奇数项和偶数项分成两个数列b与c，则在替换-1之后，b和c中不应该出现相邻相同项。只要把满足条件的b和c的种数相乘，就是所需答案。
问题变成了怎么求相邻互异的数列总数。先考虑一个子问题，首项已经固定，剩余项总长度为m，取值为1到k的，相邻互异的，而且首尾相同的数列有多少种？假设答案为 $q[m]$ ，而首尾互异的那些数列总数为 $p[m]$ ，很容易推导出有， $p[i]=(k-1)*q[i-1]+(k-2)*p[i-1],q[i]=p[i-1]$ ，而且 $p[0]=0,q[0]=1$ ，递推即可。
了解这个子问题后，考虑数列中一段连续的-1，倘若后一项和前一项相同，说明最后一个-1与首项不同，答案乘上 $p[len]$ ，否则如果不同，答案应该乘上 $q[len]+p[len]*(k-2)/(k-1)$ 。
到此为止问题基本解决。另外，注意一下首尾有-1，以及全部为-1的等等特殊情况。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define mo 998244353
using namespace std;
using LL=long long;

int n,k,ans=1,a[200005],b[100005],c[100005],p[100005],q[100005],inv;

int quick_power(int a, int b)
{
	int res=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=(LL)res*base%mo;
		base=(LL)base*base%mo;
		b>>=1;
	}
	return res;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	inv=quick_power(k-1,mo-2);
	p[0]=0,q[0]=1;
	for(int i=1;i<=n+1>>1;i++)
	{
		p[i]=((LL)(k-1)*q[i-1]+(LL)(k-2)*p[i-1])%mo;
		q[i]=p[i-1];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		if(i&1)
			b[i+1>>1]=a[i];
		else
			c[i+1>>1]=a[i];
	}
	int i=1;
	while((i<=n+1>>1)&&b[i]==-1)
		i++;
	for(int j=1;j<i;j++)
		ans=(LL)ans*(k-1)%mo;
	if(i>n+1>>1)
		ans=(LL)ans*k%mo*inv%mo;
	for(int j;i<=n+1>>1;i=j)
	{
		j=i+1;
		while((j<=n+1>>1)&&b[j]==-1)
			j++;
		if(j>n+1>>1)
			for(int g=i+1;g<j;g++)
				ans=(LL)ans*(k-1)%mo;
		else if(b[i]==b[j])
			ans=(LL)ans*p[j-i-1]%mo;
		else
			ans=(LL)ans*(q[j-i-1]+(LL)p[j-i-1]*(k-2)%mo*inv%mo)%mo;
		j-i;
	}
	i=1;
	while((i<=n>>1)&&c[i]==-1)
		i++;
	for(int j=1;j<i;j++)
		ans=(LL)ans*(k-1)%mo;
	if(i>n>>1)
		ans=(LL)ans*k%mo*inv%mo;
	for(int j;i<=n>>1;i=j)
	{
		j=i+1;
		while((j<=n>>1)&&c[j]==-1)
			j++;
		if(j>n>>1)
			for(int g=i+1;g<j;g++)
				ans=(LL)ans*(k-1)%mo;
		else if(c[i]==c[j])
			ans=(LL)ans*p[j-i-1]%mo;
		else
			ans=(LL)ans*(q[j-i-1]+(LL)p[j-i-1]*(k-2)%mo*inv%mo)%mo;
		j-i;
	}	
	printf("%d",ans);
	return 0;
}